Описанная окружность треугольника и её радиус
📏 Геометрия · 8 класс
Описанная окружность треугольника
Описанной около треугольника называют окружность, которая проходит через все три его вершины. Около любого треугольника можно описать ровно одну окружность. Её центр и радиус определяются положением вершин.
Где находится центр
Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину стороны под прямым углом к ней. Все три таких перпендикуляра пересекаются в одной точке, одинаково удалённой от всех вершин.
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри, в тупоугольном — снаружи, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.
Радиус для прямоугольного треугольника
Особенно просто радиус находится для прямоугольного треугольника. Гипотенуза служит диаметром описанной окружности, поэтому радиус равен половине гипотенузы:
R = c / 2, где c — гипотенуза.
| Вид треугольника | Положение центра |
|---|---|
| Остроугольный | внутри треугольника |
| Прямоугольный | середина гипотенузы |
| Тупоугольный | вне треугольника |
Связь со сторонами
Для любого треугольника радиус описанной окружности связан со стороной и площадью соотношением:
R = (a · b · c) / (4 · S)
Разобранный пример
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8 см. Гипотенуза: c = √(36 + 64) = 10 см. Тогда радиус описанной окружности:
R = 10 / 2 = 5 см
Центр окружности лежит точно на середине гипотенузы.
Частая ошибка. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны, а не через вершину. Не путайте его с биссектрисой или медианой.
Почему гипотенуза — диаметр
Это следствие свойства вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. И наоборот — если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр. В прямоугольном треугольнике прямой угол вписан в описанную окружность и опирается на гипотенузу, значит, гипотенуза и есть диаметр.
Второй пример
Стороны треугольника равны 7, 24 и 25 см. Заметим, что 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², значит треугольник прямоугольный с гипотенузой 25 см. Радиус описанной окружности:
R = 25 / 2 = 12,5 см
Тот же ответ даёт общая формула, но для прямоугольного треугольника путь через гипотенузу гораздо короче.
Где применяют
- В задачах на нахождение радиуса описанной окружности.
- При доказательстве, что треугольник прямоугольный.
- В построении окружности, проходящей через три заданные точки.
Кратко о главном
- Описанная окружность проходит через все вершины треугольника.
- Центр — пересечение серединных перпендикуляров.
- Для прямоугольного треугольника
R = c / 2, центр на середине гипотенузы. - Общая формула:
R = (a · b · c) / (4 · S).