Катет против угла 30 градусов
📏 Геометрия · 8 класс
Среди прямоугольных треугольников особо выделяется треугольник с углами 30°, 60° и 90°. У него есть простое и очень часто используемое свойство, которое позволяет быстро находить стороны без сложных вычислений.
Формулировка свойства
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то против этого катета лежит угол в 30°. Это даёт удобный признак для распознавания такого треугольника.
Если ∠A = 30° и ∠C = 90°,
то катет BC (он лежит против угла A) = (1/2)·AB,
где AB — гипотенуза треугольника.
| Элемент | Угол напротив | Длина при гипотенузе 2 |
|---|---|---|
| Меньший катет | 30° | 1 |
| Больший катет | 60° | √3 ≈ 1,73 |
| Гипотенуза | 90° | 2 |
Почему это так
Приложим к нашему треугольнику его зеркальную копию по большему катету. Две копии вместе образуют равносторонний треугольник: все его углы равны 60°, потому что два угла по 30° складываются в 60° при общей вершине. Сторона равностороннего треугольника равна гипотенузе исходного, а меньший катет составляет ровно половину этой стороны. Отсюда и получается, что меньший катет равен половине гипотенузы.
Разбор примера
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14, а один из острых углов равен 30°. Найдём оба катета.
Катет против угла 30°: 14 / 2 = 7
Второй катет (против угла 60°) по теореме Пифагора:
√(14² − 7²) = √(196 − 49) = √147 = 7√3 ≈ 12,1
Меньший катет равен 7, больший — приблизительно 12,1. Заметьте, что больший катет можно было найти и сразу: он равен 7·√3, то есть меньший катет, умноженный на корень из трёх.
Обратное применение
Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, а один из катетов равен 10. Поскольку 10 — это ровно половина от 20, против этого катета лежит угол 30°, а второй острый угол равен 60°. Так свойство помогает находить углы по сторонам.
Где это встречается
Треугольник с углами 30°, 60° и 90° получается, если разрезать равносторонний треугольник по высоте: высота делит его на два таких прямоугольных треугольника. Поэтому свойство постоянно используется в задачах о равносторонних треугольниках, правильных шестиугольниках и в нахождении высоты равностороннего треугольника. Например, высота равностороннего треугольника со стороной a равна (a·√3)/2 — это как раз больший катет половинного треугольника.
Равносторонний треугольник со стороной 8.
Половина основания (меньший катет) = 4.
Высота (больший катет) = 4·√3 = 8·√3/2 ≈ 6,93.
Частые ошибки. Свойство ошибочно применяют к катету против угла 60° — это неверно. Половине гипотенузы равен катет именно против 30°, то есть МЕНЬШИЙ катет. И помните: свойство работает только в прямоугольном треугольнике.
Кратко о главном
- Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
- Это меньший катет прямоугольного треугольника.
- Свойство доказывается достроением до равностороннего треугольника.
- Больший катет равен меньшему, умноженному на
√3. - Верно и обратное: катет в половину гипотенузы лежит против 30°.