Решение прямоугольных треугольников

Решение прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы по нескольким заданным элементам. Для прямоугольного треугольника инструментов достаточно: теорема Пифагора связывает стороны, а определения синуса, косинуса и тангенса связывают стороны с острыми углами.

Основные соотношения

Пусть в треугольнике прямой угол при вершине C, катеты — a и b, гипотенуза — c. Тогда выполняются такие соотношения:

• Теорема Пифагора: c в квадрате = a в квадрате + b в квадрате.
• Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Сумма острых углов равна 90 градусов.

Разбор примера 1

В прямоугольном треугольнике катет a = 6, прилежащий к нему острый угол 60 градусов. Найдём гипотенузу и второй катет.

cos(60) = a / c, значит c = a / cos(60) = 6 / 0,5 = 12; b = a * tg(60) = 6 * корень(3)

Второй острый угол равен 90 - 60 = 30 градусов.

Разбор примера 2

Известны катеты a = 3 и b = 4. Найдём гипотенузу и острые углы.

c = корень(3 в квадрате + 4 в квадрате) = корень(25) = 5; tg(угол при катете a) = 4 / 3

По значению тангенса с помощью таблицы или калькулятора находят сам угол, а второй острый угол дополняет его до 90 градусов. Этот треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским — он удобен для проверки прямого угла на местности.

Общий порядок действий

Чтобы решить прямоугольный треугольник, придерживаются простого плана. Сначала выясняют, какие элементы даны и какие нужно найти. Затем выбирают подходящее соотношение: если связаны три стороны — берут теорему Пифагора, если сторона и угол — синус, косинус или тангенс. После вычисления одной величины повторяют шаг для оставшихся неизвестных, при этом каждый новый результат можно использовать дальше. Последним обычно находят второй острый угол, вычитая известный острый угол из 90 градусов. В конце полезно проверить ответ: стороны должны удовлетворять теореме Пифагора, а против большего угла должна лежать большая сторона.

Частые ошибки. Нужно следить, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к данному углу. Синус и косинус относят к гипотенузе, а тангенс — к катетам; перепутать знаменатель — типичная ошибка. Теорему Пифагора применяют только к прямоугольному треугольнику.

Кратко о главном

• Решить треугольник — найти все его стороны и углы.
• В прямоугольном треугольнике используют теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
• Достаточно знать два элемента, один из которых — сторона.
• Сумма острых углов равна 90 градусов.