Вписанный угол, опирающийся на диаметр
📏 Геометрия · 8 класс
Особый и очень важный случай вписанного угла — когда он опирается на диаметр окружности. Такой угол обладает постоянным свойством, которое связывает геометрию окружности с прямоугольным треугольником.
Теорема
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Иначе говоря, он всегда равен 90° независимо от того, в какой точке окружности находится его вершина. Это прямое следствие основной теоремы о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла (и половине дуги), на который он опирается, а диаметр стягивает дугу в 180°.
Дуга, на которую опирается угол = 180° (полуокружность)
Вписанный угол = 180° / 2 = 90°
| Дуга, на которую опирается угол | Вписанный угол |
|---|---|
| 180° (диаметр) | 90° — прямой |
| 120° | 60° |
| 90° | 45° |
| 60° | 30° |
Следствие для прямоугольного треугольника
Из теоремы вытекает очень удобный факт: если треугольник прямоугольный, то его гипотенуза служит диаметром описанной окружности, а центр этой окружности лежит точно в середине гипотенузы. Значит, медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы — ведь она является радиусом описанной окружности.
Разбор примера
Пусть точки A и B — концы диаметра окружности, а точка C взята на окружности произвольно.
Угол ACB опирается на диаметр AB,
⟹ ∠ACB = 90°.
Значит, треугольник ACB — прямоугольный
с прямым углом при вершине C.
Радиус описанной окружности = AB / 2.
Где бы ни находилась точка C на окружности (кроме самих точек A и B), угол при ней всегда будет прямым. Это позволяет, например, строить прямой угол с помощью окружности.
Практическое применение
Если в задаче сказано, что одна сторона треугольника — диаметр окружности, а третья вершина лежит на окружности, можно сразу заключить, что треугольник прямоугольный. Это часто сокращает решение и позволяет применить теорему Пифагора.
Числовой пример
Пусть диаметр окружности равен 10, а одна из сторон вписанного треугольника, опирающегося на этот диаметр, равна 6. Так как угол, опирающийся на диаметр, прямой, треугольник прямоугольный, гипотенуза равна диаметру 10. По теореме Пифагора находим вторую сторону.
Гипотенуза = диаметр = 10, один катет = 6.
Второй катет = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
Получился знакомый прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Свойство вписанного угла на диаметр сразу подсказало, какая сторона является гипотенузой.
Правило. Угол получается прямым только если отрезок, на который он опирается, — именно ДИАМЕТР, то есть проходит через центр окружности. Если хорда не проходит через центр, опирающийся на неё вписанный угол прямым не будет.
Кратко о главном
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
- Это следует из правила «вписанный угол — половина дуги».
- Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности.
- Центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.
- Свойство верно только для диаметра, а не для любой хорды.