Касательная и секущая из одной точки
📏 Геометрия · 8 класс
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести касательную и секущую. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания, а секущая пересекает окружность в двух точках. Длины этих линий связаны строгим соотношением.
Теорема о касательной и секущей
Квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части. Под внешней частью понимают отрезок от данной точки до ближней точки пересечения с окружностью.
Пусть из точки P проведены:
касательная PT (T — точка касания),
секущая, пересекающая окружность в точках A и B,
причём PA < PB. Тогда: PT² = PA · PB
| Отрезок | Что это |
|---|---|
| PT | касательная от точки до точки касания |
| PA | внешняя часть секущей (до ближней точки) |
| PB | вся секущая (до дальней точки) |
Почему так
Соединим точку касания с двумя точками пересечения секущей. Получаются два треугольника, которые подобны: у них общий угол при вершине P, а угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Из подобия треугольников вытекает пропорция, которая после перемножения крест-накрест и даёт формулу теоремы.
Разбор примера
Касательная из точки равна 6. Секущая проведена так, что её внешняя часть равна 4. Найдём длину всей секущей.
PT² = PA · PB
6² = 4 · PB
36 = 4 · PB
PB = 9
Вся секущая равна 9. Значит, хорда внутри окружности — это часть секущей от ближней точки до дальней — равна 9 − 4 = 5.
Второй пример
Внешняя часть секущей PA = 2, вся секущая PB = 8.
Найдём касательную PT.
PT² = 2 · 8 = 16
PT = √16 = 4
Касательная равна 4. Так теорема позволяет находить либо касательную, либо части секущей в зависимости от того, что дано в условии.
Две секущие из одной точки
Из той же идеи следует ещё одно полезное соотношение. Если из внешней точки провести не касательную, а две секущие, то произведение всей секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих. То есть для секущих, проходящих через точки A, B и C, D, выполняется PA·PB = PC·PD. Касательная — это предельный случай, когда обе точки пересечения сливаются в одну точку касания.
Первая секущая: внешняя часть 3, вся секущая 12.
Вторая секущая: внешняя часть 4, вся часть x.
3 · 12 = 4 · x ⟹ 36 = 4x ⟹ x = 9.
Вся вторая секущая равна 9. Эти соотношения вместе образуют семейство теорем о произведениях отрезков для окружности.
Частые ошибки. Умножают касательную на внутреннюю часть хорды или складывают отрезки. Правильно: квадрат касательной равен произведению ВСЕЙ секущей на её ВНЕШНЮЮ часть. Внешняя часть отсчитывается от точки до ближней точки пересечения.
Кратко о главном
- Из внешней точки выполняется:
PT² = PA · PB. PA— внешняя часть секущей,PB— вся секущая.- Теорема доказывается через подобие треугольников.
- Позволяет находить касательную или части секущей.
- Внешняя часть — отрезок до ближней точки пересечения.