Построения циркулем и линейкой
📏 Геометрия · 8 класс
Построения циркулем и линейкой — это особый класс геометрических задач, в которых требуется построить фигуру, пользуясь только двумя инструментами: циркулем (он проводит окружности и откладывает равные отрезки) и линейкой без делений (она проводит прямые через заданные точки). Измерять длины и углы при этом запрещено — это принципиальное условие таких задач.
Базовые построения
В 8 классе осваивают несколько опорных построений, из которых затем складываются более сложные. Каждое из них нужно не только выполнить, но и обосновать, то есть доказать, что полученная фигура действительно искомая.
| Построение | Главный приём |
|---|---|
| Середина отрезка | две дуги равного радиуса из концов |
| Биссектриса угла | равные засечки на сторонах угла |
| Перпендикуляр к прямой | две пересекающиеся дуги |
| Угол, равный данному | перенос дуги циркулем |
Построение середины отрезка
Чтобы найти середину отрезка AB, поступают следующим образом.
1) Поставить ножку циркуля в конец A и радиусом,
большим половины AB, провести дугу.
2) Тем же радиусом провести дугу из конца B.
3) Две дуги пересекутся в двух точках.
4) Прямая через эти точки пересечёт отрезок AB
в его середине и будет перпендикулярна отрезку.
Этот же приём одновременно строит серединный перпендикуляр к отрезку — прямую, проходящую через середину перпендикулярно ему. Обоснование опирается на признак равенства треугольников: все построенные отрезки равны как радиусы одинаковых дуг.
Построение биссектрисы угла
Из вершины угла проводят дугу, которая отмечает на сторонах угла две точки на равном расстоянии от вершины. Затем из этих двух точек проводят равные дуги до их пересечения. Прямая, соединяющая вершину угла с точкой пересечения дуг, и есть искомая биссектриса. Доказательство снова использует равные треугольники.
Построение перпендикуляра
Чтобы из точки на прямой восставить перпендикуляр, откладывают на прямой по обе стороны от точки равные отрезки, а затем из их концов проводят равные дуги. Прямая через точку и пересечение дуг будет перпендикулярна исходной прямой.
Правило. Линейка используется только для проведения прямых через уже имеющиеся точки; измерять ею длину или откладывать сантиметры нельзя. Каждое построение требует обоснования — нужно доказать, что результат соответствует условию задачи, а не просто «похож» на нужную фигуру.
Кратко о главном
- Инструменты — только циркуль и линейка без делений.
- Базовые задачи: середина отрезка, перпендикуляр, биссектриса, равный угол.
- Середина отрезка строится двумя дугами равного радиуса из его концов.
- Биссектриса строится равными засечками на сторонах угла.
- Каждое построение нужно обосновать через равенство треугольников.