Тангенс острого угла
📏 Геометрия · 8 класс
Тангенс острого угла
В прямоугольном треугольнике для острого угла вводят три отношения сторон: синус, косинус и тангенс. Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Это число зависит только от величины угла, но не от размеров самого треугольника.
Определение
Пусть в прямоугольном треугольнике рассматривается острый угол. Обозначим противолежащий ему катет как a, прилежащий — как b. Тогда:
tg(угол) = a / b — противолежащий катет делим на прилежащий.
Связь с синусом и косинусом
Тангенс выражается через синус и косинус того же угла:
tg(угол) = sin(угол) / cos(угол)
Это равенство удобно, когда известны синус и косинус, но нужен тангенс. Косинус при этом не должен равняться нулю.
| Функция | Отношение сторон |
|---|---|
sin | противолежащий катет к гипотенузе |
cos | прилежащий катет к гипотенузе |
tg | противолежащий катет к прилежащему |
Свойства тангенса
- Чем больше острый угол, тем больше его тангенс.
- Тангенс острого угла всегда положителен.
- Тангенс 45 градусов равен 1, потому что катеты равны.
Разобранный пример
В прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен 7 см, прилежащий — 24 см. Найдём тангенс угла:
tg(угол) = 7 / 24 ≈ 0,29
Если же известно, что sin = 0,6 и cos = 0,8, то tg = 0,6 / 0,8 = 0,75.
Частая ошибка. Не путайте местами катеты: в числителе тангенса стоит именно противолежащий катет, а не прилежащий. Перестановка даёт котангенс — обратную величину.
Геометрический смысл
Тангенс острого угла показывает, насколько круто поднимается наклонная линия. Чем больше тангенс, тем «круче» наклон. Поэтому тангенс применяют для описания уклона дороги, крутизны склона или наклона прямой на координатной плоскости. Например, уклон в 10 процентов означает, что на каждые 10 метров по горизонтали высота меняется на 1 метр, и это как раз отношение противолежащего катета к прилежащему.
Связь с углом наклона прямой
Если прямая на координатной плоскости образует с горизонтальной осью острый угол, то тангенс этого угла равен отношению изменения по вертикали к изменению по горизонтали. Это понятие в старших классах превратится в угловой коэффициент прямой.
Второй пример
Лестница приставлена к стене так, что её нижний конец отстоит от стены на 1,5 метра, а верхний поднят на 3,6 метра. Тангенс угла наклона лестницы к земле:
tg(угол) = 3,6 / 1,5 = 2,4
Большое значение тангенса говорит о том, что лестница стоит достаточно круто.
Кратко о главном
- Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg = a / b. - Через синус и косинус:
tg = sin / cos. - Тангенс зависит только от угла.
- С ростом острого угла тангенс возрастает.
- Тангенс описывает крутизну наклона прямой или склона.