Свойство диагоналей прямоугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Свойство диагоналей прямоугольника
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, его диагонали обладают всеми свойствами диагоналей параллелограмма, но добавляется ещё одно важное свойство, характерное именно для прямоугольника.
Главное свойство
Диагонали прямоугольника равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Равенство диагоналей — отличительная черта прямоугольника. У произвольного параллелограмма диагонали в общем случае разной длины, и именно их равенство выделяет прямоугольник среди параллелограммов.
Почему диагонали равны
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b. Каждая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и b. По теореме Пифагора длина диагонали:
d = √(a² + b²)
Так как обе диагонали опираются на одинаковые катеты, они равны. Это и есть доказательство равенства диагоналей.
| Свойство | Параллелограмм | Прямоугольник |
|---|---|---|
| Делятся пополам | да | да |
| Равны по длине | не всегда | всегда |
| Перпендикулярны | не всегда | не обязательно |
Полезное следствие
Точка пересечения диагоналей одинаково удалена от всех четырёх вершин. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с точкой пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали: R = d / 2.
Разобранный пример
Стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см. Найдём диагональ:
d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см
Радиус описанной окружности: R = 15 / 2 = 7,5 см.
Частая ошибка. Не путайте свойства: равенство диагоналей — признак прямоугольника, а перпендикулярность диагоналей — признак ромба. У квадрата выполняются оба условия сразу.
Признак прямоугольника
Верно и обратное утверждение: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Это используют для доказательства того, что фигура является прямоугольником. Достаточно показать, что данный четырёхугольник — параллелограмм, и что его диагонали равны.
Треугольники внутри прямоугольника
Диагонали разбивают прямоугольник на четыре треугольника. Поскольку диагонали равны и делятся пополам, все четыре отрезка от центра до вершин одинаковы. Значит, образуются равнобедренные треугольники. Это свойство удобно при доказательстве равенства углов и при работе с описанной окружностью.
Второй пример
В прямоугольнике диагональ равна 26 см, одна сторона — 10 см. Найдём вторую сторону. Из формулы d = √(a² + b²) следует b = √(d² − a²):
b = √(26² − 10²) = √(676 − 100) = √576 = 24 см
Получили прямоугольник со сторонами 10 и 24 см. Это пример пифагоровой тройки 10, 24, 26.
Кратко о главном
- Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
- Длина диагонали:
d = √(a² + b²). - Точка пересечения — центр описанной окружности,
R = d / 2. - Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника.
- Равенство диагоналей в параллелограмме — признак прямоугольника.