Уравнение окружности

Уравнение окружности

Окружность — это множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние, равное радиусу. Метод координат позволяет описать окружность алгебраически — с помощью уравнения, связывающего координаты её точек.

Вывод уравнения

Пусть центр окружности находится в точке с координатами (a; b), а радиус равен R. Точка с координатами (x; y) лежит на окружности тогда и только тогда, когда расстояние от неё до центра равно радиусу. По формуле расстояния между точками получаем уравнение:

(x − a)² + (y − b)² = R²

Это и есть уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R. Если центр совпадает с началом координат, уравнение упрощается до x² + y² = R².

Разбор примера

Найдём центр и радиус окружности, заданной уравнением (x + 2)² + (y − 3)² = 9.

(x − (−2))² + (y − 3)² = 3²
центр: (−2; 3), радиус: 3

Обратите внимание: в скобке стоит x + 2, значит, координата центра равна −2, ведь по образцу там должно быть x − a. Правую часть представляем как квадрат, поэтому радиус равен √9 = 3.

Проверка принадлежности точки

Чтобы узнать, лежит ли точка на окружности, подставляют её координаты в уравнение. Если равенство выполняется, точка на окружности; если левая часть больше — точка вне круга, если меньше — внутри.

Разбор примера проверки

Проверим, лежит ли точка (5; 1) на окружности (x − 2)² + (y − 1)² = 9. Подставим координаты в левую часть.

(5 − 2)² + (1 − 1)² = 3² + 0² = 9

Левая часть равна 9, как и правая, значит, точка лежит на окружности. А вот точка (2; 1) даёт 0 + 0 = 0 < 9 — она внутри круга, ведь это сам центр.

Составление уравнения по данным

Чтобы написать уравнение окружности, достаточно знать координаты центра и радиус. Иногда радиус задают не напрямую, а через точку, лежащую на окружности: тогда радиус вычисляют как расстояние от центра до этой точки. Например, если центр (0; 0), а окружность проходит через точку (3; 4), то R = √(3² + 4²) = 5, и уравнение имеет вид x² + y² = 25.

Частые ошибки. Забывают возвести радиус в квадрат: в правой части стоит R², а не R. Путают знак координаты центра — он противоположен числу в скобке. Иногда берут радиус как число справа, не извлекая квадратный корень.

Кратко о главном

• Окружность — множество точек на равном расстоянии от центра.
• Уравнение окружности: (x − a)² + (y − b)² = R².
• Центр имеет координаты (a; b), радиус равен R.
• При центре в начале координат уравнение x² + y² = R².
• Принадлежность точки проверяют подстановкой координат.