Свойство пересекающихся хорд
📏 Геометрия · 8 класс
Когда две хорды окружности пересекаются внутри неё, отрезки, на которые точка пересечения делит каждую хорду, связаны простым и красивым соотношением. Напомним, что хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Теорема о хордах
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Точка пересечения делит каждую хорду на два отрезка, и произведения этих пар отрезков совпадают.
Пусть хорды AB и CD пересеклись в точке P.
Тогда: AP · PB = CP · PD
| Хорда | Отрезки | Произведение |
|---|---|---|
| Первая (AB) | AP и PB | AP · PB |
| Вторая (CD) | CP и PD | CP · PD |
| Равенство: AP · PB = CP · PD | ||
Почему так
Соединим концы хорд отрезками так, чтобы образовались два треугольника. Эти треугольники подобны, потому что у них равны вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги, а также есть вертикальные углы при точке пересечения. Из подобия следует пропорция между сторонами, и после перемножения её крест-накрест получается равенство произведений отрезков. Так теорема выводится из свойств вписанных углов и подобия.
Разбор примера
Одна хорда разбита точкой пересечения на отрезки 4 и 9. Вторая хорда разбита на отрезок 6 и неизвестный отрезок x. Найдём x.
AP · PB = CP · PD
4 · 9 = 6 · x
36 = 6x
x = 6
Неизвестный отрезок равен 6. Значит, вторая хорда состоит из отрезков 6 и 6, то есть точка пересечения делит её пополам.
Второй пример
Отрезки первой хорды: 3 и 8.
Один отрезок второй хорды: 4. Найти второй (y).
3 · 8 = 4 · y
24 = 4y
y = 6
Второй отрезок равен 6, и вся вторая хорда имеет длину 4 + 6 = 10.
Особый случай: диаметр и хорда
Очень наглядно теорема работает, когда одна из хорд — это диаметр, перпендикулярный второй хорде. Тогда диаметр делит хорду пополам, и оба отрезка второй хорды равны между собой. Если диаметр разбит точкой пересечения на части m и n, то половина хорды равна √(m·n) — снова среднее геометрическое.
Диаметр разбит на 2 и 8, хорда ему перпендикулярна.
Половина хорды = √(2·8) = √16 = 4.
Вся хорда = 4 + 4 = 8.
Этот случай связывает теорему о хордах с понятием среднего геометрического, которое уже встречалось в прямоугольном треугольнике.
Частые ошибки. Складывают отрезки вместо того, чтобы их перемножать. В теореме равны именно ПРОИЗВЕДЕНИЯ отрезков, а не суммы. Кроме того, теорема верна только для хорд, пересекающихся ВНУТРИ окружности; для секущих из внешней точки используется другое соотношение.
Кратко о главном
- Для пересекающихся хорд:
AP·PB = CP·PD. - Произведения отрезков двух хорд равны между собой.
- Теорема доказывается через подобие треугольников.
- Позволяет находить неизвестный отрезок хорды.
- Работает только для хорд, пересекающихся внутри окружности.