Формула Герона
📏 Геометрия · 8 класс
Формула Герона позволяет найти площадь треугольника, если известны только длины его трёх сторон, без высоты и без углов. Это очень удобно в случаях, когда измерить высоту напрямую невозможно, а все три стороны известны. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского.
Сама формула
Сначала вычисляют полупериметр — половину суммы всех сторон. Обозначим стороны a, b, c, а полупериметр — p. Тогда площадь выражается через квадратный корень.
p = (a + b + c) / 2
S = √( p·(p − a)·(p − b)·(p − c) )
Под корнем стоит произведение полупериметра и трёх разностей: полупериметр минус каждая из сторон. Поскольку в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других, все три разности положительны, и выражение под корнем имеет смысл.
| Величина | Обозначение | Что значит |
|---|---|---|
| Стороны | a, b, c | длины трёх сторон |
| Полупериметр | p | половина суммы сторон |
| Площадь | S | искомая площадь |
Разбор примера
Пусть стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдём площадь по формуле Герона.
p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
S = √( 21·(21−13)·(21−14)·(21−15) )
S = √( 21·8·7·6 )
S = √7056 = 84
Площадь равна 84 квадратным единицам. Числа здесь подобраны удачно, и под корнем получился точный квадрат. В реальных задачах корень не всегда извлекается нацело, тогда ответ оставляют в виде корня или вычисляют приближённо.
Когда применять формулу
Формула Герона особенно полезна для произвольного треугольника, заданного тремя сторонами, когда никакие углы и высоты не даны. Если же треугольник прямоугольный, проще взять половину произведения катетов. А если известны две стороны и угол между ними, удобнее формула с синусом. Выбор способа зависит от того, какие данные есть в условии.
Ещё один пример
Стороны 5, 5, 6 (равнобедренный треугольник).
p = (5 + 5 + 6) / 2 = 8
S = √( 8·(8−5)·(8−5)·(8−6) )
S = √( 8·3·3·2 ) = √144 = 12
Площадь равна 12. Здесь формула Герона дала тот же ответ, что и обычная формула через основание и высоту.
Связь с другими формулами площади
Формула Герона — не единственный способ найти площадь треугольника, но самый универсальный, когда даны три стороны. Если из неё выразить высоту, можно дополнительно найти и высоты треугольника: ведь площадь равна половине произведения стороны на высоту к ней. Например, зная площадь 84 и сторону 14 из первого примера, находим высоту к этой стороне: h = 2·84 / 14 = 12. Так одна формула помогает решить сразу несколько задач о треугольнике.
Частые ошибки. Забывают разделить периметр пополам и подставляют целый периметр вместо полупериметра. Ещё одна ошибка — перепутать порядок и вычесть из стороны полупериметр; правильно именно p − a, и результат каждой разности обязательно положительный.
Кратко о главном
- Формула Герона даёт площадь треугольника по трём сторонам.
- Сначала находят полупериметр
p = (a+b+c)/2. - Затем
S = √(p·(p−a)·(p−b)·(p−c)). - Все разности под корнем положительны по неравенству треугольника.
- Удобна, когда неизвестны ни высота, ни углы треугольника.