Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Расстояние между точками на плоскости

На координатной плоскости каждая точка задаётся парой чисел — координатами (x; y). Зная координаты двух точек, можно вычислить расстояние между ними, не измеряя его линейкой. Формула расстояния является прямым следствием теоремы Пифагора.

Вывод формулы

Пусть даны точки A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2). Построим прямоугольный треугольник, у которого отрезок AB служит гипотенузой, а катеты параллельны осям. Длины катетов равны разностям координат: x_2 − x_1 по горизонтали и y_2 − y_1 по вертикали. По теореме Пифагора:

AB = √((x_2 − x_1)² + (y_2 − y_1)²)

Расстояние между точками — это квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Порядок вычитания не важен, потому что разность возводится в квадрат.

Координаты середины отрезка

Середина отрезка имеет координаты, равные средним арифметическим координат концов:

x_с = (x_1 + x_2) / 2, y_с = (y_1 + y_2) / 2

Разобранный пример

Найдём расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6):

AB = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Середина отрезка: ((1 + 4)/2; (2 + 6)/2) = (2,5; 4).

Частая ошибка. Нельзя складывать разности координат без возведения в квадрат. Запись (x_2 − x_1) + (y_2 − y_1) неверна — обязательно нужны квадраты и корень.

Длина отрезка как частный случай

Формула расстояния позволяет находить длину любого отрезка, заданного координатами концов, не выполняя измерений. Это особенно полезно, когда отрезок наклонён и его нельзя просто посчитать по клеткам. Также через расстояние удобно проверять, равны ли стороны фигуры: если расстояния между парами вершин совпадают, стороны равны.

Второй пример

Проверим, является ли треугольник с вершинами A(0; 0), B(4; 0), C(0; 3) прямоугольным. Найдём стороны:

AB = √(16 + 0) = 4, AC = √(0 + 9) = 3, BC = √(16 + 9) = 5

Так как 3² + 4² = 5², треугольник прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора.

Уравнение окружности

Формула расстояния лежит в основе уравнения окружности. Окружность — это множество точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние, равное радиусу. Если центр находится в точке (a; b), а радиус равен R, то для любой точки (x; y) окружности расстояние до центра равно R. Возведя формулу расстояния в квадрат, получаем уравнение (x − a)² + (y − b)² = R². Так координатный метод связывает алгебру и геометрию.

Третий пример

Найдём периметр треугольника с вершинами P(1; 1), Q(1; 5), R(4; 1). Стороны: PQ = √(0 + 16) = 4, PR = √(9 + 0) = 3, QR = √(9 + 16) = 5. Периметр равен 4 + 3 + 5 = 12.

Где применяют

• В нахождении длин сторон и периметра фигуры по координатам.
• В проверке вида треугольника.
• В нахождении центра окружности и её радиуса.

Кратко о главном

• Расстояние: √((x_2 − x_1)² + (y_2 − y_1)²).
• Формула вытекает из теоремы Пифагора.
• Середина отрезка — среднее арифметическое координат концов.
• Порядок вычитания координат не влияет на результат.
• Через расстояние находят длины сторон и вид треугольника.