Касательная к окружности
📏 Геометрия · 8 класс
Что такое касательная
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Для сравнения: прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей, а прямая без общих точек просто не пересекает окружность.
Положение прямой относительно окружности определяется расстоянием от центра до прямой. Если оно равно радиусу — прямая касательная; меньше радиуса — секущая; больше — нет общих точек.
Главное свойство касательной
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Это свойство — ключ почти ко всем задачам с касательными: в точке касания сразу появляется прямой угол, и можно применять теорему Пифагора. Верно и обратное утверждение, которое называют признаком касательной: если прямая проходит через конец радиуса и перпендикулярна ему, то она касательная.
Отрезки касательных из одной точки
Если из одной точки вне окружности провести две касательные, то получится ещё одно важное свойство.
- Отрезки касательных от данной точки до точек касания равны.
- Прямая, идущая из этой точки в центр, делит угол между касательными пополам.
Доказывается это просто: два радиуса, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому образуются два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой — отрезком до центра — и равными катетами-радиусами. Такие треугольники равны, а значит, равны и отрезки касательных. Это свойство постоянно используют в задачах про окружности, вписанные в углы и в многоугольники.
Сравнение положений прямой
| Расстояние от центра до прямой | Число общих точек | Название |
|---|---|---|
| меньше радиуса | две | секущая |
| равно радиусу | одна | касательная |
| больше радиуса | нет | не пересекает |
Разбор примера
Из точки, удалённой от центра на 13 сантиметров, проведена касательная к окружности радиуса 5 сантиметров. Найдём длину отрезка касательной.
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 13
и катетом 5 (радиус).
Отрезок касательной = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.Окружность, вписанная в угол
Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла, а стороны угла являются касательными. Точки касания одинаково удалены от вершины угла — это прямое следствие равенства отрезков касательных. На этой идее строится доказательство того, что в любой треугольник можно вписать окружность: её центром служит точка пересечения биссектрис.
Частые ошибки. Прямой угол образуется именно между касательной и радиусом в точке касания, а не с диаметром в произвольном месте. Длину касательной находят как катет, а не гипотенузу. Нельзя также путать касательную с секущей: у секущей две общие точки с окружностью.
Кратко о главном
- Касательная имеет с окружностью одну общую точку.
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
- Если прямая через конец радиуса перпендикулярна ему — она касательная.
- Отрезки двух касательных из одной точки равны.