Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размером. Чтобы доказать подобие, не обязательно проверять все условия сразу — достаточно одного из трёх признаков.

Три признака подобия

1. По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Это самый часто используемый признак, ведь третьи углы тогда равны автоматически.
2. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
3. По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Коэффициент подобия

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия k. Он показывает, во сколько раз один треугольник крупнее другого. Периметры подобных треугольников относятся как k, а площади — как k в квадрате. Это важное следствие часто проверяют в задачах.

Разбор примера 1

В треугольниках ABC и A1B1C1 угол A равен углу A1, а стороны относятся как AB / A1B1 = AC / A1C1 = 2. Тогда по второму признаку треугольники подобны с коэффициентом k = 2.

Если BC = 7, то B1C1 = BC / k = 7 / 2 = 3,5

Разбор примера 2

Две прямые, пересекающие стороны угла, параллельны. Тогда углы при вершине общие, а соответственные углы равны. По первому признаку образующиеся треугольники подобны. Если площади подобных треугольников относятся как k в квадрате и k = 3, то площади различаются в 9 раз.

Где применяют подобие

Подобие треугольников — рабочий инструмент при решении многих задач. С его помощью находят высоту дерева или здания по длине тени, не измеряя их напрямую: тень и предмет образуют пару подобных треугольников. Подобие лежит в основе доказательства теоремы о пропорциональных отрезках, свойства биссектрисы и соотношений в прямоугольном треугольнике. Поэтому признаки подобия нужно знать твёрдо: они встречаются почти в каждой геометрической теме 8 класса. В практических задачах обычно сначала находят пару подобных треугольников, затем записывают пропорцию сходственных сторон и из неё выражают неизвестную величину.

Частые ошибки. Сходственные стороны должны лежать против равных углов. Нельзя составлять отношение случайных пар сторон — порядок вершин в записи подобия важен. Также нельзя путать коэффициент подобия для сторон и для площадей: площади относятся как квадрат коэффициента.

Кратко о главном

• Подобие можно доказать по двум углам, по двум сторонам и углу или по трём сторонам.
• Коэффициент подобия k — отношение сходственных сторон.
• Периметры относятся как k, площади — как k в квадрате.
• Сходственные стороны лежат против равных углов.