Правильный многоугольник и его углы

Правильный многоугольник

Правильным называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Простейшие примеры — равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и шестиугольник. Благодаря симметрии для правильных многоугольников выводятся удобные формулы.

Внутренний угол

Сумма внутренних углов n-угольника равна 180 · (n − 2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, один угол получается делением на число вершин:

угол = 180 · (n − 2) / n

Окружности правильного многоугольника

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в него можно вписать окружность. Центры обеих окружностей совпадают — это центр многоугольника.

Радиус описанной окружности проходит через вершину, а радиус вписанной (его называют апофемой) — через середину стороны под прямым углом к ней.

Разобранный пример

Найдём внутренний угол правильного восьмиугольника:

угол = 180 · (8 − 2) / 8 = 180 · 6 / 8 = 1080 / 8 = 135°

Проверим через внешний угол: внешний = 360 / 8 = 45°, тогда внутренний = 180 − 45 = 135°. Результаты совпали.

Частая ошибка. Равенства только сторон или только углов недостаточно. Например, ромб имеет равные стороны, но не является правильным, потому что его углы разные. Прямоугольник имеет равные углы, но стороны разные.

Число сторон по углу

Зная внутренний угол, можно найти число сторон. Удобнее через внешний угол: n = 360 / внешний угол. Сначала находят внешний угол как 180 − внутренний, а затем делят 360 на полученное значение.

Второй пример

Внутренний угол правильного многоугольника равен 144 градусам. Сколько у него сторон? Внешний угол равен 180 − 144 = 36°, значит:

n = 360 / 36 = 10

Это правильный десятиугольник. Заметьте: чем больше сторон, тем ближе внутренний угол к 180 градусам, а сама фигура — к окружности.

Где применяют

• В задачах на углы правильных фигур.
• При построении правильных многоугольников циркулем и линейкой.
• В вычислении радиусов вписанной и описанной окружностей.
• В геометрии паркетов и мозаик, где фигуры заполняют плоскость без зазоров.

Сторона и радиусы

Сторона правильного многоугольника, радиус описанной окружности и апофема связаны между собой. Если соединить центр с двумя соседними вершинами, получится равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны радиусу описанной окружности, а угол при центре равен 360 / n. Высота этого треугольника, опущенная на сторону, и есть апофема — радиус вписанной окружности. Через такие треугольники в старших классах выводят формулы стороны и площади правильного многоугольника.

Кратко о главном

• Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы.
• Внутренний угол: 180 · (n − 2) / n.
• В него можно вписать и около него описать окружность с общим центром.
• Внешний угол правильного n-угольника равен 360 / n.
• Число сторон находят как n = 360 / внешний угол.