Площадь треугольника

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию. Это основная формула, из которой выводятся все остальные. За основание можно взять любую из трёх сторон, главное — провести к ней соответствующую высоту.

Если основание — a, а высота к нему — h, то:

S = (1/2) * a * h

Откуда берётся формула

Достроим треугольник до параллелограмма, добавив равный ему треугольник. Площадь параллелограмма равна a * h, а треугольник занимает ровно половину, поэтому его площадь равна (1/2) * a * h.

Другие формулы

В 8 классе изучают несколько способов вычисления площади треугольника.

• Через две стороны и угол между ними: S = (1/2) * a * b * sin(угол).
• Формула Герона через три стороны и полупериметр p: S = корень(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p = (a + b + c) / 2.
• Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов, потому что один катет служит основанием, а другой — высотой.

Разбор примера 1

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдём площадь по формуле Герона.

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21; S = корень(21 * 8 * 7 * 6) = корень(7056) = 84

Разбор примера 2

Две стороны треугольника равны 10 и 12, угол между ними 30 градусов.

S = (1/2) * 10 * 12 * sin(30) = (1/2) * 10 * 12 * 0,5 = 30

Связь площади и высоты

Из основной формулы видно, что площадь не зависит от того, какую сторону выбрать основанием: результат всегда одинаков. Это даёт удобный приём. Если площадь треугольника уже известна, то высоту к любой стороне можно найти как h = 2 * S / a. Например, при площади 84 и стороне 14 высота к этой стороне равна 2 * 84 / 14 = 12. Так одна и та же формула работает в обе стороны: и для вычисления площади, и для вычисления высоты. Этот приём часто используют в задачах, где напрямую найти высоту трудно, а площадь вычисляется проще. Аналогично можно найти сторону, если известны площадь и высота к ней: a = 2 * S / h.

Частые ошибки. В формуле S = (1/2) * a * b * sin(угол) угол должен лежать между сторонами a и b, а не быть произвольным. Высоту нельзя путать с боковой стороной; высота всегда перпендикулярна основанию. В формуле Герона легко ошибиться, забыв разделить периметр пополам.

Кратко о главном

• Основная формула: S = (1/2) * a * h.
• Через стороны и угол: S = (1/2) * a * b * sin(угол).
• По трём сторонам применяют формулу Герона.
• Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов.