Среднее пропорциональное (геометрическое)
📏 Геометрия · 8 класс
Среднее пропорциональное
Средним пропорциональным (или средним геометрическим) для двух положительных чисел a и b называют такое число x, что выполняется пропорция a : x = x : b. Из неё следует x² = a·b, то есть x = √(a·b). В геометрии это понятие играет ключевую роль в свойствах прямоугольного треугольника и тесно связано с подобием.
Определение через пропорцию
Запись a : x = x : b означает, что x стоит в середине пропорции дважды. Перемножив крайние и средние члены, получаем основное равенство:
x² = a · b, отсюда x = √(a · b)
Среднее пропорциональное всегда заключено между числами a и b и не превосходит их среднего арифметического.
Геометрический смысл в прямоугольном треугольнике
Если из вершины прямого угла провести высоту на гипотенузу, она разбивает гипотенузу на два отрезка — проекции катетов. Тогда выполняются три важных соотношения, основанных на среднем пропорциональном. Они вытекают из подобия трёх образующихся треугольников.
| Элемент | Чему равен | Формула |
|---|---|---|
| Высота к гипотенузе | среднее проекций катетов | h = √(a_c · b_c) |
| Первый катет | среднее гипотенузы и его проекции | a = √(c · a_c) |
| Второй катет | среднее гипотенузы и его проекции | b = √(c · b_c) |
Здесь a_c и b_c — проекции катетов на гипотенузу, c — длина всей гипотенузы.
Разобранный пример
Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдём высоту.
h = √(4 · 9) = √36 = 6
Высота равна 6. Также можно найти катеты: гипотенуза равна 4 + 9 = 13, тогда √(13 · 4) = √52 и √(13 · 9) = √117.
Второй пример
Проекции катетов на гипотенузу равны 3 и 12. Найдём высоту.
h = √(3 · 12) = √36 = 6
Высота снова равна 6, хотя проекции другие — важно их произведение, а не сами числа.
Откуда берутся соотношения
Когда из вершины прямого угла опускают высоту, исходный треугольник делится на два меньших. Оба они подобны исходному и подобны между собой, потому что у них совпадают углы. Из подобия следуют пропорции между сторонами, а в каждой такой пропорции один и тот же отрезок оказывается средним членом. Именно поэтому высота и катеты выражаются как средние пропорциональные. Этот факт связывает тему с подобием треугольников и теоремой Пифагора в единое целое.
Среднее геометрическое и среднее арифметическое
Для любых двух положительных чисел среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, и равенство достигается только когда числа равны. Например, для 4 и 16 среднее арифметическое равно 10, а среднее геометрическое равно √64 = 8. Чем сильнее различаются числа, тем больше разрыв между этими средними. Это известное неравенство широко используется в математике.
Частая ошибка: путать среднее пропорциональное (геометрическое) со средним арифметическим. Для чисел 4 и 9 среднее арифметическое равно 6,5, а среднее геометрическое равно 6. В прямоугольном треугольнике высота равна именно среднему геометрическому проекций.
Кратко о главном
- Среднее пропорциональное чисел
aиbравно√(a·b). - Высота из прямого угла:
h = √(a_c · b_c)— среднее проекций катетов. - Каждый катет — среднее гипотенузы и своей проекции.
- Эти соотношения следуют из подобия треугольников.
- Не путать с средним арифметическим: это разные величины.