Центральные и вписанные углы
📏 Геометрия · 8 класс
Центральный и вписанный углы
В геометрии окружности выделяют два важных типа углов. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Оба угла «опираются» на дугу, заключённую между их сторонами.
Понятие дуги здесь главное: величину центрального угла измеряют той дугой, на которую он опирается. Если центральный угол равен 60 градусам, то и дуга равна 60 градусам.
Теорема о вписанном угле
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Иначе говоря, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Из этой теоремы вытекают два очень полезных следствия.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — он равен 90 градусам, ведь опирается на дугу в 180 градусов.
Где это применяют
Свойство угла, опирающегося на диаметр, постоянно используют, чтобы доказать, что треугольник прямоугольный, или найти неизвестные углы в задачах с окружностью. Например, если вершина треугольника лежит на окружности, а его основание совпадает с диаметром, то угол при этой вершине обязательно прямой — каким бы ни было положение вершины на дуге.
Доказательство теоремы
Идея доказательства теоремы о вписанном угле основана на свойствах равнобедренного треугольника. Радиусы, проведённые к концам дуги и к вершине вписанного угла, образуют равнобедренные треугольники, ведь все радиусы равны. Внешний угол такого треугольника равен сумме двух равных углов при основании. Сложив результаты, получают, что центральный угол ровно вдвое больше вписанного. Этот аккуратный вывод показывает, почему коэффициент именно одна вторая, а не какое-то другое число.
Сравнение углов
| Угол | Где вершина | Связь с дугой |
|---|---|---|
| Центральный | в центре | равен дуге |
| Вписанный | на окружности | равен половине дуги |
Разбор примера
Центральный угол, опирающийся на дугу, равен 80 градусам. Найдём вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
Вписанный угол = (центральный угол) / 2.
Вписанный угол = 80° / 2 = 40°.А если вписанный угол опирается на диаметр, он сразу равен 90 градусам — считать ничего не нужно. И наоборот: если вписанный угол прямой, то отрезок, на который он опирается, обязательно является диаметром окружности. Это удобный способ найти центр окружности по прямому углу.
Частые ошибки. Половина берётся именно у центрального угла (или дуги), а не наоборот. И углы сравнивают только тогда, когда они опираются на одну и ту же дугу.
Кратко о главном
- Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
- Вписанный угол равен половине этой дуги.
- Вписанные углы на одной дуге равны между собой.
- Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.