Длина окружности и площадь круга
📏 Геометрия · 8 класс
Длина окружности и площадь круга
Окружность — это линия, все точки которой удалены от центра на одно расстояние, называемое радиусом. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Для них существуют формулы длины и площади, в которые входит знаменитое число π (пи). Эти формулы — одни из самых применяемых в геометрии и физике.
Число пи
Отношение длины любой окружности к её диаметру — постоянное число, обозначаемое π. Оно одинаково для всех окружностей, независимо от их размера. Его приближённое значение:
π ≈ 3,14159…, для расчётов берут π ≈ 3,14
Формула длины окружности
Длина окружности C прямо пропорциональна радиусу R (или диаметру d = 2R):
C = 2 · π · R = π · d
Формула площади круга
Площадь круга S пропорциональна квадрату радиуса:
S = π · R²
Обратите внимание: в длину радиус входит в первой степени, а в площадь — во второй. Это принципиальное различие двух формул.
| Величина | Формула | Зависимость |
|---|---|---|
| Длина окружности | C = 2πR | линейная по R |
| Площадь круга | S = πR² | квадратичная по R |
Длина дуги в n° | L = 2πR · n / 360 | доля окружности |
Площадь сектора в n° | S = πR² · n / 360 | доля круга |
Сектор круга
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Его площадь составляет такую же долю от всего круга, какую центральный угол n составляет от 360 градусов. Аналогично вычисляется и длина дуги.
Разобранный пример
Радиус круга равен 5. Найдём длину окружности и площадь.
C = 2 · 3,14 · 5 = 31,4
S = 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5
Длина окружности равна 31,4, площадь круга равна 78,5.
Пример с сектором
Найдём площадь сектора с углом 90 градусов в круге радиуса 4.
S = 3,14 · 4² · 90 / 360 = 3,14 · 16 · 0,25 = 12,56
Площадь сектора равна 12,56 — это ровно четверть площади всего круга.
История числа пи
Люди приближённо вычисляли число π ещё в древности. Архимед оценил его, вписывая и описывая вокруг окружности правильные многоугольники, и получил, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7. Сегодня известны триллионы знаков после запятой, но для школьных расчётов достаточно значения 3,14 или дроби 22/7. Число π является иррациональным, то есть его нельзя точно записать обыкновенной дробью или конечной десятичной дробью.
Как меняются длина и площадь
Поскольку длина окружности пропорциональна радиусу, при увеличении радиуса вдвое длина тоже увеличивается вдвое. А площадь круга, зависящая от квадрата радиуса, при том же увеличении вырастает вчетверо. Это ещё один пример общей закономерности: линейная величина растёт пропорционально размеру, а площадь — пропорционально его квадрату. Поэтому большие круги «набирают» площадь гораздо быстрее, чем длину границы.
Частая ошибка: путать формулы длины и площади. В длину радиус входит в первой степени (2πR), в площадь — во второй (πR²). Ещё одна ошибка — использовать диаметр вместо радиуса в формуле площади.
Кратко о главном
- Число
π ≈ 3,14— отношение длины окружности к диаметру. - Длина окружности:
C = 2πR. - Площадь круга:
S = πR². - Длина дуги и площадь сектора с углом
n°— соответствующие доли от 360 градусов. - Радиус в формуле длины стоит в первой степени, в площади — во второй.