Сумма углов многоугольника

Что такое сумма углов многоугольника

Многоугольник — это замкнутая ломаная без самопересечений вместе с ограниченной ею частью плоскости. Если все его вершины «смотрят» наружу, а сам он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону, многоугольник называют выпуклым. Одна из главных числовых характеристик такой фигуры — сумма её внутренних углов. Эта величина не зависит от размеров фигуры, а определяется только числом сторон. Поэтому, зная количество вершин, мы сразу можем сказать, сколько градусов в сумме всех углов, не измеряя их по отдельности.

Основная формула

Любой выпуклый многоугольник с числом вершин n можно разбить диагоналями, проведёнными из одной вершины, на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов, поэтому сумма всех внутренних углов многоугольника находится по формуле:

S = 180° · (n − 2)

Например, для треугольника получаем 180 градусов, для четырёхугольника — 360, для пятиугольника — 540. С каждой новой стороной сумма увеличивается ровно на 180 градусов, потому что добавляется ещё один треугольник в разбиении.

Внешние углы

Внешний угол при вершине — это угол, смежный с внутренним. Сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине равна 180 градусов, так как они дополняют друг друга до развёрнутого угла. Замечательно, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360 градусов, сколько бы сторон у него ни было. Это легко представить: обходя многоугольник по периметру, мы в сумме поворачиваемся на полный оборот.

Правильные многоугольники

Если многоугольник правильный (все стороны и все углы равны), то каждый его внутренний угол равен сумме углов, делённой на число вершин:

угол = 180° · (n − 2) / n

А каждый внешний угол правильного многоугольника равен 360° / n. Эти две формулы связаны: внутренний и внешний углы в сумме дают 180 градусов.

Частая ошибка: учащиеся пытаются применить формулу 180° · (n − 2) к невыпуклым фигурам напрямую. Для выпуклых многоугольников она всегда верна. Также нельзя путать сумму всех углов с величиной одного угла — делить на n нужно только в правильном многоугольнике.

Пример решения

Найдём внутренний угол правильного восьмиугольника.

S = 180° · (8 − 2) = 1080°

угол = 1080° / 8 = 135°

Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135 градусов. Проверим через внешний угол: 360° / 8 = 45°, и тогда внутренний угол равен 180° − 45° = 135°. Результаты совпали.

Обратная задача

Иногда известна сумма углов, а найти нужно число сторон. Тогда из формулы выражают n: например, если сумма равна 900 градусов, то n − 2 = 900 / 180 = 5, значит, n = 7 — это семиугольник.

Кратко о главном

• Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника: 180° · (n − 2).
• Сумма внешних углов, по одному при каждой вершине, всегда равна 360 градусов.
• В правильном многоугольнике каждый внутренний угол равен 180° · (n − 2) / n, а внешний — 360° / n.
• Формула получается из разбиения фигуры на n − 2 треугольника.
• По сумме углов можно найти число сторон обратным вычислением.