Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой

На координатной плоскости каждую невертикальную прямую можно задать уравнением вида y = k·x + b. Число k в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой, а число b показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат.

Угловой коэффициент характеризует наклон прямой. Он показывает, на сколько изменяется значение y при увеличении x на единицу.

Связь с углом наклона

Угловой коэффициент равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: k = tg α. Если угол острый, коэффициент положителен и прямая идёт вверх. Если угол тупой, коэффициент отрицателен и прямая идёт вниз.

Как найти коэффициент по двум точкам

Если прямая проходит через две точки с координатами (x_1; y_1) и (x_2; y_2), то угловой коэффициент вычисляют по формуле:

k = (y_2 − y_1) / (x_2 − x_1)

Разбор примера

Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (1; 2) и (4; 8).

k = (8 − 2) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2

Значит, прямая возрастает: при увеличении x на единицу y растёт на 2. Уравнение прямой можно записать как y = 2x + b, а затем подставить любую точку и найти b.

Важное свойство: у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому, сравнивая k двух уравнений, легко проверить, параллельны ли прямые. Если же угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке.

Смысл свободного члена

В уравнении y = k·x + b число b называют свободным членом. Оно равно ординате точки пересечения прямой с осью ординат, то есть значению y при x = 0. Меняя b и сохраняя k, мы получаем семейство параллельных прямых с одинаковым наклоном, но смещённых вверх или вниз.

Построение прямой по коэффициентам

Зная k и b, прямую строят так: сначала отмечают точку (0; b) на оси ординат, затем от неё сдвигаются на 1 вправо и на k вверх (или вниз, если k отрицателен) и ставят вторую точку. Через две точки проводят прямую. Например, для y = 2x + 1 от точки (0; 1) переходят к точке (1; 3).

Частые ошибки. Меняют порядок точек в числителе, но не в знаменателе формулы — получают неверный знак. Считают, что у вертикальной прямой есть угловой коэффициент: у неё его нет, так как уравнение имеет вид x = a. Также путают роли чисел k и b в уравнении.

Кратко о главном

• Прямую задают уравнением y = k·x + b.
• Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона: k = tg α.
• При k > 0 прямая возрастает, при k < 0 — убывает.
• По двум точкам k = (y_2 − y_1) / (x_2 − x_1).
• У параллельных прямых угловые коэффициенты равны.