Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество

Для острого угла прямоугольного треугольника определяют синус, косинус и тангенс. Между синусом и косинусом одного и того же угла существует жёсткая связь, которую называют основным тригонометрическим тождеством. Оно позволяет по одной известной функции находить другую без измерения угла, что очень удобно при решении задач.

Формулировка

Для любого острого угла α справедливо равенство:

sin²α + cos²α = 1

Запись sin²α означает (sin α)². Тождество вытекает прямо из теоремы Пифагора: если в прямоугольном треугольнике катеты равны a и b, а гипотенуза c, то sin α = a/c, cos α = b/c, и сумма их квадратов равна (a² + b²)/c², а по теореме Пифагора a² + b² = c², поэтому результат равен единице.

Значения для основных углов

Значения функций для углов 30, 45 и 60 градусов нужно знать наизусть — они постоянно встречаются в задачах.

Связь тангенса с синусом и косинусом

Тангенс острого угла равен отношению синуса к косинусу:

tg α = sin α / cos α

Эта формула вместе с основным тождеством позволяет переходить от одной функции к любой другой.

Разобранный пример

Известно, что sin α = 0,6. Найдём cos α и tg α.

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64

cos α = √0,64 = 0,8

Так как угол острый, берём положительный корень: cos α = 0,8. Тогда тангенс равен:

tg α = 0,6 / 0,8 = 0,75

Второй пример

Пусть cos α = 5/13. Найдём синус.

sin²α = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169

sin α = 12/13

Здесь снова появилась пифагорова тройка 5, 12, 13. Это не случайность: значения синуса и косинуса острых углов часто связаны с пифагоровыми тройками, потому что и тождество, и тройки опираются на теорему Пифагора.

Как запомнить значения таблицы

Значения синусов углов 30, 45 и 60 градусов удобно запоминать как последовательность √1/2, √2/2, √3/2. Под корнем в числителе стоят 1, 2, 3 — по возрастанию угла. Косинусы тех же углов идут в обратном порядке, потому что косинус большего острого угла меньше. Такой приём избавляет от заучивания каждой клетки таблицы по отдельности и снижает риск ошибки.

Зачем нужно тождество

Основное тригонометрическое тождество — фундамент всей тригонометрии. Оно позволяет по одной функции угла находить другую, упрощать выражения и решать уравнения. В старших классах на его основе выводятся более сложные формулы, поэтому прочное усвоение этого тождества в 8 классе закладывает базу для дальнейшего обучения. Полезно потренироваться выводить из него косинус через синус и наоборот.

Частая ошибка: записывать sin α² вместо sin²α или забывать, что для острого угла косинус положителен. Также нельзя складывать sin α + cos α и приравнивать к единице — в тождестве стоят именно квадраты функций.

Кратко о главном

• Основное тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Оно следует из теоремы Пифагора.
• Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α.
• Зная одну функцию, можно найти остальные.
• Значения для углов 30, 45, 60 градусов нужно помнить наизусть.