Свойство описанного четырёхугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Описанный четырёхугольник — это четырёхугольник, в который можно вписать окружность, касающуюся всех четырёх его сторон. Иногда говорят, что окружность вписана, а четырёхугольник описан около неё. Для таких фигур есть простой и наглядный признак, связанный с длинами сторон.
Свойство сумм сторон
В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Это и необходимое, и достаточное условие: если суммы равны, окружность точно впишется, и наоборот.
Для четырёхугольника ABCD со сторонами
AB, BC, CD, DA выполняется равенство:
AB + CD = BC + DA
| Пара сторон | Сумма |
|---|---|
| AB и CD (противоположные) | AB + CD |
| BC и DA (противоположные) | BC + DA |
| Условие: AB + CD = BC + DA | |
Почему это так
От каждой вершины четырёхугольника до двух ближайших точек касания идут равные отрезки касательных — это известное свойство касательных, проведённых из одной точки. Обозначив эти отрезки буквами и сложив стороны по парам, мы увидим, что обе суммы противоположных сторон равны одной и той же величине — удвоенной сумме всех различных отрезков касательных. Значит, эти суммы равны между собой.
Разбор примера
У описанного четырёхугольника три стороны по порядку равны 5, 7 и 8. Найдём четвёртую сторону x, которая противоположна стороне 7.
AB + CD = BC + DA
5 + 8 = 7 + x
13 = 7 + x
x = 6
Четвёртая сторона равна 6. Проверка: 5 + 8 = 13 и 7 + 6 = 13 — суммы противоположных сторон действительно равны.
Частный случай
Для ромба все стороны равны, поэтому суммы противоположных сторон автоматически совпадают — в любой ромб можно вписать окружность. То же верно и для квадрата. А вот в произвольный прямоугольник, у которого стороны разные, окружность вписать нельзя, потому что суммы противоположных сторон не равны.
Радиус вписанной окружности
Если окружность вписана в четырёхугольник, то его площадь связана с радиусом этой окружности и полупериметром простой формулой: S = p·r, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности. Эта формула, аналогичная формуле для треугольника, позволяет находить радиус, если известны площадь и периметр.
Периметр описанного четырёхугольника = 26, площадь = 39.
Полупериметр p = 26 / 2 = 13.
Радиус r = S / p = 39 / 13 = 3.
Радиус вписанной окружности равен 3. Так свойство описанного четырёхугольника связывается с вычислением площади.
Правило. Не путайте описанный четырёхугольник с вписанным. У вписанного равна 180° сумма противоположных УГЛОВ, а у описанного равны суммы противоположных СТОРОН. Это два разных свойства для двух разных ситуаций.
Кратко о главном
- Описанный четырёхугольник содержит вписанную окружность.
- Признак:
AB + CD = BC + DA. - Свойство следует из равенства отрезков касательных.
- В ромб и квадрат окружность вписывается всегда.
- Не путать с вписанным четырёхугольником (там — сумма углов).