Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из точки одной стороны на прямую, содержащую противоположную сторону. У параллелограмма две пары высот, и в задаче важно брать высоту именно к выбранному основанию.

Если основание обозначить буквой a, а высоту к нему — буквой h, то площадь вычисляют по формуле:

S = a * h

Откуда берётся формула

Если от параллелограмма отрезать прямоугольный треугольник у одного края и приставить его к другому краю, получится прямоугольник с тем же основанием a и той же высотой h. Площадь прямоугольника равна a * h, поэтому такой же будет и площадь параллелограмма. Этот приём перекройки наглядно объясняет формулу.

Формула через две стороны и угол

Площадь можно найти и через две смежные стороны a и b с углом между ними. Высота выражается как h = b * sin(угол), поэтому формула принимает вид:

S = a * b * sin(угол)

Разбор примера 1

Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, угол между ними 30 градусов. Найдём площадь.

sin(30) = 0,5; S = 6 * 8 * 0,5 = 24 кв. см

Тот же ответ получится, если найти высоту: h = 8 * 0,5 = 4 см, тогда S = 6 * 4 = 24 кв. см.

Разбор примера 2

Основание параллелограмма равно 10 см, а высота к нему — 3 см. Тогда площадь сразу равна S = 10 * 3 = 30 кв. см. Если в условии дана высота к другой стороне, нужно сначала понять, к какому основанию она проведена.

Две высоты одного параллелограмма

У параллелограмма две пары параллельных сторон, поэтому есть две высоты — к большей и к меньшей стороне. Площадь при этом одна и та же, ведь она не зависит от выбора основания. Отсюда вытекает полезное соотношение: произведение большей стороны на высоту к ней равно произведению меньшей стороны на высоту к ней. Если большая сторона длиннее, то высота к ней короче, и наоборот. Это позволяет находить одну высоту, зная стороны и вторую высоту, без вычисления самой площади. Например, если стороны равны 8 и 6, а высота к стороне 8 равна 3, то площадь равна 24, а высота к стороне 6 равна 24 / 6 = 4.

Частые ошибки. Высоту нужно проводить именно к той стороне, которую берут за основание. Нельзя умножать основание на боковую сторону вместо высоты, если только угол между ними не прямой. В наклонном параллелограмме боковая сторона всегда длиннее высоты.

Кратко о главном

• Площадь параллелограмма: S = a * h.
• Через стороны и угол: S = a * b * sin(угол).
• Высота — перпендикуляр к выбранному основанию.
• Формулу можно вывести перекройкой параллелограмма в прямоугольник.