Перпендикуляр и наклонная
📏 Геометрия · 8 класс
Перпендикуляр и наклонная
Пусть дана прямая и точка, не лежащая на ней. Из этой точки можно провести к прямой перпендикуляр и сколько угодно наклонных. Перпендикуляр — это отрезок, соединяющий точку с прямой под прямым углом. Любой другой отрезок от точки до прямой называется наклонной.
Основные понятия
- Перпендикуляр — отрезок от точки до прямой, образующий с ней угол 90 градусов.
- Наклонная — любой отрезок от точки до прямой, не являющийся перпендикуляром.
- Проекция наклонной — отрезок прямой между основанием перпендикуляра и основанием наклонной.
Главное свойство
Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Длину перпендикуляра называют расстоянием от точки до прямой.
Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой, а гипотенуза всегда длиннее катета.
Сравнение наклонных
Если из одной точки проведены две наклонные, то справедливы утверждения:
- Равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот.
- Большая наклонная имеет большую проекцию.
| Элемент | Роль в треугольнике | Сравнение длины |
|---|---|---|
| Перпендикуляр | катет | самый короткий |
| Наклонная | гипотенуза | длиннее перпендикуляра |
| Проекция | катет | растёт с наклонной |
Разобранный пример
Из точки к прямой проведён перпендикуляр длиной 5 см и наклонная с проекцией 12 см. Найдём длину наклонной по теореме Пифагора:
l = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см
Наклонная (13 см) ожидаемо длиннее перпендикуляра (5 см).
Частая ошибка. Расстоянием от точки до прямой считают именно перпендикуляр, а не произвольный отрезок. Любая наклонная даст завышенное значение.
Расстояние между параллельными прямыми
Понятие расстояния от точки до прямой позволяет определить расстояние между двумя параллельными прямыми. Берут любую точку на одной прямой и опускают из неё перпендикуляр на вторую. Длина этого перпендикуляра одинакова, какую бы точку мы ни выбрали, поэтому расстояние между параллельными прямыми — вполне определённая величина.
Второй пример
Из точки проведены перпендикуляр длиной 8 см и наклонная длиной 17 см. Найдём проекцию наклонной. Перпендикуляр — катет, наклонная — гипотенуза, поэтому проекция:
p = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 см
Если из той же точки провести более длинную наклонную, её проекция будет больше 15 см.
Где применяют
- В определении высоты треугольника как перпендикуляра к стороне.
- При нахождении расстояния от точки до прямой на координатной плоскости.
- В задачах на симметрию относительно прямой.
Кратко о главном
- Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до прямой, он и есть расстояние.
- Наклонная всегда длиннее перпендикуляра.
- Большей наклонной соответствует большая проекция.
- Длины связаны теоремой Пифагора:
l = √(h² + p²). - Расстояние между параллельными прямыми — длина общего перпендикуляра.