Синус острого угла

Что такое синус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Обозначают синус как sin и пишут sin A. Противолежащий катет — это тот, который лежит напротив рассматриваемого угла.

Если катет напротив угла A равен a, а гипотенуза равна c, то sin A = a / c. Как и косинус, синус острого угла положителен и меньше единицы, ведь катет короче гипотенузы.

Свойства синуса

Синус зависит только от величины угла. В подобных треугольниках синусы соответствующих углов совпадают. Чем больше острый угол, тем больше его синус: при малом угле синус близок к нулю, а при угле, близком к 90 градусам, синус близок к единице.

Сравните эту таблицу с таблицей косинусов: значения идут в обратном порядке. Это потому, что sin A = cos B, где углы A и B дополняют друг друга до 90 градусов.

Разбор примера

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а противолежащий углу катет равен 5. Найдём синус угла.

sin A = противолежащий катет / гипотенуза = 5 / 13 ≈ 0,38

Обратная задача: найти катет по углу и гипотенузе. Формула a = c · sin A. При гипотенузе 20 и угле 30 градусов противолежащий катет равен 20 · 0,5 = 10.

Где применяют синус

Синус помогает находить высоту предметов и расстояния, недоступные для прямого измерения. Зная угол подъёма и длину наклонной, по формуле высота = длина · sin угла вычисляют, например, высоту склона или подъёма дороги. Если вертолёт летит по наклонной траектории длиной c под углом A к горизонту, то набранная высота равна c · sin A.

Связь синуса и косинуса

Синус и косинус одного угла связаны основным тригонометрическим тождеством sin²A + cos²A = 1. Отсюда, зная одну величину, можно найти другую: sin A = √(1 − cos²A). Кроме того, отношение синуса к косинусу даёт тангенс угла: tg A = sin A / cos A. Эти связи позволяют решать задачи, в которых напрямую дана лишь одна из тригонометрических функций.

Если в треугольнике известны синус угла и гипотенуза, противолежащий катет находят как a = c · sin A, а прилежащий — по теореме Пифагора либо через косинус. Так одна известная функция угла открывает путь к нахождению всех сторон.

Частые ошибки. Берут не тот катет: для синуса нужен противолежащий, а не прилежащий. Ещё забывают, что синус не превышает единицы — если в ответе получилось больше единицы, в решении ошибка. Иногда смешивают формулы для синуса и косинуса, потому что они похожи: помогает рисунок с подписанными катетами.

Кратко о главном

• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c.
• Значение синуса больше нуля и меньше единицы.
• Чем больше угол, тем больше синус.
• Верно равенство sin A = cos B для дополняющих друг друга углов.
• Катет находят по формуле a = c · sin A.