Свойство вписанного четырёхугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Говорят также, что около такого четырёхугольника описана окружность. Для вписанных четырёхугольников выполняется важное угловое свойство.
Свойство противоположных углов
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°. Это условие одновременно необходимое и достаточное.
Для вписанного четырёхугольника ABCD:
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°
| Пара углов | Сумма |
|---|---|
| ∠A и ∠C (противоположные) | 180° |
| ∠B и ∠D (противоположные) | 180° |
Почему это так
Каждый угол четырёхугольника является вписанным углом: он опирается на дугу окружности и равен её половине. Два противоположных угла опираются на две дуги, которые вместе составляют всю окружность, то есть 360°. Половина от 360° равна 180°. Поэтому сумма противоположных углов всегда равна 180°.
Разбор примера
В вписанном четырёхугольнике угол A равен 70°, а угол B равен 95°. Найдём два оставшихся угла.
∠C = 180° − ∠A = 180° − 70° = 110°
∠D = 180° − ∠B = 180° − 95° = 85°
Проверка суммы всех углов четырёхугольника:
70 + 95 + 110 + 85 = 360° ✓
Углы равны 110° и 85°. Проверка по сумме всех углов четырёхугольника (она всегда равна 360°) подтверждает правильность ответа.
Какие фигуры вписываются
Прямоугольник и квадрат всегда можно вписать в окружность, ведь у них все углы прямые, и сумма противоположных углов равна 90° + 90° = 180°. А вот произвольный параллелограмм, не являющийся прямоугольником, вписать в окружность нельзя: его противоположные углы равны между собой, но в сумме не дают 180°. Равнобедренная трапеция, наоборот, всегда вписывается.
Ещё один пример
Известно, что в вписанном четырёхугольнике один угол равен 120°. Найдём противоположный ему угол и проверим, может ли соседний угол быть равным 100°.
Противоположный угол = 180° − 120° = 60°.
Если один из оставшихся углов = 100°,
то четвёртый = 180° − 100° = 80°.
Сумма всех: 120 + 100 + 60 + 80 = 360° ✓
Все условия выполнены: суммы противоположных углов равны 180°, а полная сумма всех углов равна 360°. Значит, такой четырёхугольник действительно может быть вписан в окружность.
Частые ошибки. Складывают соседние углы вместо противоположных. Равны 180° именно суммы ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ углов, а не соседних. И помните: прямоугольник вписывается всегда, а косой параллелограмм — никогда.
Кратко о главном
- У вписанного четырёхугольника все вершины лежат на окружности.
- Признак:
∠A + ∠C = 180°и∠B + ∠D = 180°. - Свойство следует из теоремы о вписанном угле.
- Прямоугольник и квадрат вписываются всегда, косой параллелограмм — нет.
- Сумма всех углов четырёхугольника всегда равна 360°.