Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (их называют основаниями), а две другие не параллельны (боковые стороны). Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

У прямоугольной трапеции при перпендикулярной боковой стороне образуются два прямых угла. Эта боковая сторона одновременно является высотой трапеции, что заметно упрощает вычисления.

Свойства углов

Поскольку основания параллельны, сумма углов при каждой боковой стороне равна 180 градусам. У прямоугольной трапеции два угла прямые (по 90 градусов), а два других в сумме также дают 180 градусов: один острый, другой тупой.

Площадь и боковая сторона

Площадь любой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. В прямоугольной трапеции высота совпадает с перпендикулярной боковой стороной d:

S = ((a + b) / 2) · d

Наклонную боковую сторону находят по теореме Пифагора. Если опустить высоту из вершины меньшего основания, получится прямоугольный треугольник с катетами d и (a − b).

Разбор примера

В прямоугольной трапеции основания равны 10 и 6, а высота 3. Найдём площадь и наклонную боковую сторону.

S = ((10 + 6) / 2) · 3 = 8 · 3 = 24
разность оснований: 10 − 6 = 4
наклонная сторона = √(3² + 4²) = √25 = 5

Диагонали и средняя линия

Средняя линия прямоугольной трапеции, как и у любой трапеции, равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Она соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Зная среднюю линию и высоту, площадь находят ещё проще: S = m · h.

Второй пример

В прямоугольной трапеции основания равны 12 и 8, а наклонная боковая сторона образует с большим основанием угол 45 градусов. Найдём высоту. Разность оснований равна 12 − 8 = 4, а при угле 45 градусов высота равна этой разности, потому что прямоугольный треугольник равнобедренный.

разность оснований = 12 − 8 = 4
при угле 45° высота равна катету: h = 4

Частые ошибки. Считают высотой наклонную боковую сторону — высотой является только перпендикулярная сторона. При поиске наклонной стороны берут не разность, а сумму оснований. Иногда забывают, что у прямоугольной трапеции именно два прямых угла, и приписывают ей четыре, путая её с прямоугольником.

Кратко о главном

• Прямоугольная трапеция имеет боковую сторону, перпендикулярную основаниям.
• У неё два прямых угла, а два других дают в сумме 180 градусов.
• Перпендикулярная боковая сторона является высотой.
• Площадь равна S = ((a + b) / 2) · d.
• Наклонную сторону находят по теореме Пифагора через разность оснований.