Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Сумма внешних углов многоугольника

Внешний угол многоугольника при вершине — это угол, смежный с внутренним углом при той же вершине. Он дополняет внутренний угол до 180 градусов. Если в каждой вершине выпуклого многоугольника взять по одному внешнему углу, то их сумма окажется одной и той же для любого числа сторон.

Главное утверждение

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам.

Это правило не зависит от числа сторон: и у треугольника, и у пятиугольника, и у стоугольника сумма внешних углов одна и та же — 360 градусов.

Почему так получается

В каждой вершине внутренний и внешний углы вместе дают 180 градусов. Для n-угольника всех таких пар будет n, поэтому сумма всех внутренних и всех внешних углов равна 180 · n. Сумма внутренних углов равна 180 · (n − 2). Вычитая, получаем сумму внешних:

180·n − 180·(n − 2) = 360°

Разобранный пример

В правильном шестиугольнике найдём один внешний угол. Так как все внешние углы равны, делим 360 на число вершин:

внешний угол = 360 / 6 = 60°

Тогда внутренний угол: 180 − 60 = 120°.

Частая ошибка. Сумма внешних углов постоянна (360 градусов), а сумма внутренних растёт с числом сторон. Не путайте эти две величины.

Наглядное объяснение

Представьте, что вы идёте вдоль границы многоугольника и в каждой вершине поворачиваете на величину внешнего угла. Обойдя всю фигуру и вернувшись в начало, вы сделаете ровно один полный оборот — это и есть 360 градусов. Сумма всех поворотов равна полному обороту независимо от того, сколько у фигуры вершин. Это «физическое» объяснение постоянства суммы внешних углов.

Второй пример

В правильном многоугольнике внешний угол равен 24 градусам. Сколько у него сторон? Так как сумма внешних углов равна 360 градусам и все они равны, число сторон:

n = 360 / 24 = 15

Значит, это правильный пятнадцатиугольник. Через внешний угол число сторон находится особенно быстро.

Связь с суммой внутренних углов

Зная, что сумма внешних углов всегда равна 360 градусам, легко вывести сумму внутренних. В каждой вершине внутренний и внешний углы вместе дают 180 градусов, всего вершин n, поэтому сумма всех углов равна 180 · n. Вычитая постоянную сумму внешних углов, получаем формулу суммы внутренних: 180 · n − 360 = 180 · (n − 2). Так одно правило помогает запомнить другое.

Третий пример

У выпуклого многоугольника один из внешних углов равен 40 градусам, а остальные равны между собой и составляют по 20 градусов. Сколько у него вершин? Пусть число остальных вершин равно m. Тогда 40 + 20 · m = 360, откуда 20 · m = 320 и m = 16. Всего вершин 16 + 1 = 17.

Где применяют

• В нахождении числа сторон правильного многоугольника.
• В вычислении внутренних углов через внешние.
• В задачах на построение правильных фигур.

Кратко о главном

• Внешний угол смежен с внутренним и дополняет его до 180 градусов.
• Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360 градусам.
• Это верно для любого числа сторон.
• Для правильного n-угольника один внешний угол равен 360 / n.