Радиус вписанной окружности через площадь

Радиус вписанной окружности через площадь

Вписанной в треугольник окружностью называют окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника. Её центр лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус — это расстояние от центра до любой стороны. Этот радиус удобно связан с площадью треугольника.

Основная формула

Формула. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p · r, где p — полупериметр.

Из этой формулы радиус вписанной окружности выражается так:

r = S / p

Полупериметр вычисляют как половину суммы всех сторон: p = (a + b + c) / 2. Площадь же можно найти любым известным способом, например по формуле Герона.

Почему формула верна

Соединим центр вписанной окружности с тремя вершинами. Треугольник разобьётся на три меньших треугольника, у каждого высота равна радиусу r, а основания — это стороны исходного треугольника. Складывая их площади, получаем S = (1/2)·a·r + (1/2)·b·r + (1/2)·c·r = p·r.

Разбор примера

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Найдём радиус вписанной окружности. Это прямоугольный треугольник, его площадь равна (1/2)·3·4 = 6.

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
r = S / p = 6 / 6 = 1

Радиус вписанной окружности равен 1. Для прямоугольного треугольника есть и более короткая формула r = (a + b − c) / 2, где c — гипотенуза: (3 + 4 − 5)/2 = 1 — ответ тот же.

Связь с другими формулами

Формула S = p · r полезна не только для поиска радиуса. Если радиус вписанной окружности известен заранее, по ней находят площадь треугольника: достаточно умножить полупериметр на радиус. А зная площадь и стороны, можно проверить правильность вычислений сразу несколькими способами, ведь площадь должна получаться одинаковой и по формуле Герона, и через p · r.

Второй пример

Площадь треугольника равна 30, а его периметр равен 20. Найдём радиус вписанной окружности. Сначала полупериметр: p = 20 / 2 = 10.

r = S / p = 30 / 10 = 3

Радиус вписанной окружности равен 3. Заметьте: для нахождения радиуса не понадобились сами стороны, достаточно было площади и периметра.

Частые ошибки. Берут вместо полупериметра весь периметр. Путают радиус вписанной окружности с радиусом описанной. Забывают, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, а не медиан. Иногда подставляют в формулу периметр вместо полупериметра и получают вдвое меньший радиус.

Кратко о главном

• Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
• Площадь равна произведению полупериметра на радиус: S = p · r.
• Радиус находят по формуле r = S / p.
• Полупериметр равен p = (a + b + c) / 2.
• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.