Коэффициент подобия фигур

Коэффициент подобия фигур

Две фигуры называют подобными, если одна получается из другой увеличением или уменьшением всех размеров в одно и то же число раз. Это число называют коэффициентом подобия и обозначают буквой k. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз одна фигура больше другой.

Что показывает коэффициент

Если две фигуры подобны с коэффициентом k, то каждая сторона одной фигуры в k раз отличается от соответствующей стороны другой. То же относится к высотам, медианам, биссектрисам и любым соответственным отрезкам.

k = сторона первой фигуры / соответствующая сторона второй

Как меняются периметр и площадь

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия k, а отношение площадей равно квадрату коэффициента k².

Это очень важное правило. Линейные размеры растут в k раз, а площадь — в k² раз, потому что площадь зависит от двух измерений.

Разобранный пример

Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия k = 3. Периметр меньшего равен 12 см, площадь — 8 кв.см. Тогда:

Периметр большего: P = 12 · 3 = 36 см.

Площадь большего: S = 8 · 3² = 8 · 9 = 72 кв.см.

Частая ошибка. Площадь умножают на k, забывая, что нужен квадрат коэффициента. Если фигура увеличилась в 3 раза по сторонам, её площадь вырастет в 9 раз, а не в 3.

Связь с масштабом

Коэффициент подобия — это, по сути, масштаб. На карте с масштабом 1 к 1000 каждый сантиметр изображения соответствует 1000 сантиметрам на местности, то есть коэффициент подобия между картой и реальностью равен 1000. При этом площадь участка на местности больше площади его изображения уже в миллион раз, потому что 1000² = 1000000. Это наглядно показывает, почему площадь меняется как квадрат коэффициента.

Второй пример

Площадь большого треугольника равна 50 кв.см, а подобного ему малого — 2 кв.см. Найдём коэффициент подобия. Отношение площадей равно k²:

k² = 50 / 2 = 25, значит k = √25 = 5

Стороны большого треугольника в 5 раз длиннее сторон малого, а периметр — тоже в 5 раз больше.

Где это применяют

• В задачах на нахождение неизвестных сторон по подобию.
• При работе с масштабом карт и чертежей.
• В вычислении площадей через известный коэффициент.
• В нахождении коэффициента по отношению площадей через квадратный корень.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два меньших, каждый из которых подобен исходному. Это один из важнейших примеров подобия в курсе восьмого класса. Через коэффициенты подобия этих треугольников выводятся соотношения для высоты и проекций катетов на гипотенузу. Понимание коэффициента подобия здесь — ключ к решению целого класса задач.

Третий пример

Периметры двух подобных пятиугольников равны 30 и 18 см. Найдём коэффициент подобия и отношение площадей. Коэффициент равен отношению периметров: k = 30 / 18 = 5/3. Отношение площадей: k² = 25/9. То есть площадь большего пятиугольника относится к площади меньшего как 25 к 9.

Кратко о главном

• Коэффициент подобия k показывает отношение соответственных сторон.
• Периметры относятся как k.
• Площади относятся как k².
• Все соответственные отрезки меняются в k раз.
• Коэффициент подобия — это масштаб фигуры.