Признаки параллелограмма
📏 Геометрия · 8 класс
Признаки параллелограмма
Признак — это условие, по которому можно утверждать, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Важно отличать признаки от свойств: свойства мы используем, уже зная, что фигура — параллелограмм, а признаки помогают это доказать. Поэтому в формулировке свойства параллелограмм стоит в условии, а в формулировке признака — в заключении.
Три признака
В курсе 8 класса изучают три признака параллелограмма. Рассмотрим четырёхугольник ABCD.
- Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
- Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
| Номер | Условие | Идея доказательства |
|---|---|---|
| 1 | Две стороны равны и параллельны | Диагональ делит на равные треугольники |
| 2 | Противоположные стороны попарно равны | Равенство треугольников по трём сторонам |
| 3 | Диагонали делятся пополам | Равные треугольники у точки пересечения |
Как доказывают первый признак
Пусть AB = CD и AB параллельна CD. Проведём диагональ AC. Углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей. Тогда треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства следует, что BC = AD и угол BCA равен углу DAC, а значит BC параллельна AD. Получили четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон — это и есть параллелограмм.
Зачем нужны разные признаки
В разных задачах удобны разные признаки. Если в условии заданы длины сторон, проще применить второй признак. Если речь идёт о точке пересечения диагоналей и их частях — третий. Если же известно, что одна пара сторон параллельна, и нужно показать, что фигура — параллелограмм, достаточно доказать равенство этой пары сторон и воспользоваться первым признаком. Умение выбрать подходящий признак экономит время и делает доказательство короче.
Разбор примера
Дан четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O, причём AO = OC = 5 и BO = OD = 3. Докажем, что это параллелограмм.
AO = OC и BO = OD — диагонали делятся пополам. По третьему признаку ABCD — параллелограмм.Если бы дополнительно было известно, что AO = OC, но BO не равно OD, вывод о параллелограмме сделать было бы нельзя.
Частые ошибки. Для первого признака пара сторон должна быть одновременно равна и параллельна. Если стороны только равны или только параллельны — вывод неверен: например, у равнобокой трапеции боковые стороны равны, но фигура не параллелограмм. Во втором признаке нужны именно противоположные стороны, а не соседние.
Кратко о главном
- Признак позволяет доказать, что четырёхугольник — параллелограмм.
- Достаточно одного из трёх условий: равные и параллельные стороны, равные противоположные стороны или диагонали, делящиеся пополам.
- Свойство и признак различаются местом параллелограмма: в условии или в заключении.
- Все доказательства опираются на равенство треугольников.