Параллелограмм и его свойства

Что такое параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это базовая фигура курса геометрии 8 класса: именно на её основе позже изучают прямоугольник, ромб и квадрат, которые являются частными случаями параллелограмма.

Если в четырёхугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD, то такой четырёхугольник называют параллелограммом. Из этого простого определения вытекает целый набор свойств, которые помогают решать задачи на вычисление сторон, углов и длин диагоналей.

Основные свойства

Свойства параллелограмма не принимаются на веру, а доказываются. Главный инструмент доказательства — признаки равенства треугольников, на которые параллелограмм делится диагональю.

• Противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
• Противоположные углы равны: угол A равен углу C, угол B равен углу D.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов, потому что эти углы являются односторонними при параллельных прямых.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Почему противоположные стороны равны

Проведём диагональ AC. Она разбивает параллелограмм на два треугольника — ABC и CDA. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: сторона AC общая, а накрест лежащие углы при параллельных сторонах равны. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD.

Почему диагонали делятся пополам

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AO = OC и BO = OD. Это свойство часто используют, когда в задаче известны отрезки диагоналей.

Разбор примера

В параллелограмме ABCD угол A = 70 градусов. Найдём остальные углы.

угол C = угол A = 70 градусов; угол B = 180 - 70 = 110 градусов; угол D = угол B = 110 градусов

Проверка: сумма всех углов равна 70 + 110 + 70 + 110 = 360 градусов, как и должно быть у любого четырёхугольника. Если бы в условии была дана сторона и одна из диагоналей, мы бы дополнительно применили свойство деления диагоналей пополам.

Частые ошибки. Нельзя путать свойства диагоналей: они делятся пополам, но в общем параллелограмме не равны и не перпендикулярны. Равенство диагоналей — признак уже прямоугольника, а перпендикулярность — признак ромба. Также важно помнить, что равны именно противоположные углы, а соседние в общем случае различны.

Кратко о главном

• Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными сторонами.
• Противоположные стороны и противоположные углы равны.
• Сумма соседних углов равна 180 градусов.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• Все свойства доказываются через равенство треугольников.