Подобие многоугольников

Подобие многоугольников

Два многоугольника называют подобными, если их углы соответственно равны, а соответственные стороны пропорциональны. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером: одна как бы является увеличенной или уменьшенной копией другой.

Число, показывающее, во сколько раз сторона одного многоугольника больше соответственной стороны другого, называют коэффициентом подобия и обозначают k.

Два условия подобия

Чтобы многоугольники были подобны, должны одновременно выполняться два условия:

1. равенство соответственных углов;
2. пропорциональность соответственных сторон.

Одного условия мало. Например, у прямоугольника и квадрата все углы прямые, но стороны не всегда пропорциональны, поэтому они не обязательно подобны. А у ромба и квадрата стороны пропорциональны, но углы разные.

Разбор примера

Стороны одного пятиугольника равны 3, 4, 5, 6, 7. Подобный ему пятиугольник имеет наименьшую сторону 6. Найдём коэффициент подобия и остальные стороны.

k = 6 / 3 = 2
стороны: 3·2=6, 4·2=8, 5·2=10, 6·2=12, 7·2=14

Периметр исходной фигуры равен 3+4+5+6+7 = 25, а подобной — 25 · 2 = 50, то есть тоже в два раза больше. Площадь увеличится в k² = 4 раза.

Подобие треугольников как частный случай

Треугольники — это тоже многоугольники, поэтому их подобие подчиняется тем же правилам. Однако для треугольников доказаны удобные признаки подобия (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам), которые позволяют не проверять все условия сразу. Для произвольных многоугольников таких коротких признаков нет, и нужно проверять и углы, и пропорциональность сторон.

Подобие в жизни

Подобие лежит в основе масштабирования: фотографии, чертежи, карты и макеты — это подобные уменьшенные копии реальных объектов. Зная коэффициент подобия (масштаб), по размерам на чертеже восстанавливают настоящие размеры предмета. Например, при масштабе 1 : 100 отрезок длиной 2 сантиметра на чертеже соответствует 2 метрам в действительности.

Частые ошибки. Считают площадь подобной фигуры в k раз больше, забывая про квадрат коэффициента. Сопоставляют не те стороны: пропорциональны именно соответственные стороны, то есть лежащие против равных углов. Иногда проверяют только одно из двух условий подобия.

Кратко о главном

• Подобные многоугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны.
• Коэффициент подобия k показывает отношение соответственных сторон.
• Периметры подобных фигур относятся как k.
• Площади подобных фигур относятся как k².
• Для подобия нужны оба условия одновременно.