Градусная мера дуги окружности

Градусная мера дуги окружности

Дуга — это часть окружности, заключённая между двумя её точками. Как и углы, дуги измеряют в градусах. Градусная мера дуги показывает, какую часть полной окружности составляет эта дуга, и тесно связана с центральным углом, опирающимся на ту же дугу. Это понятие — основа для изучения вписанных углов и многих задач об окружности.

Связь дуги и центрального угла

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается:

дуга AB = центральный угол AOB

Вся окружность соответствует полному обороту в 360 градусов, полуокружность — 180 градусов, четверть — 90 градусов. Дуга, на которую опирается диаметр, всегда равна 180 градусов.

Дуга и длина

Не нужно путать градусную меру дуги с её длиной. Градусная мера показывает долю окружности, а длина зависит ещё и от радиуса. Длина дуги в n градусов вычисляется по формуле:

L = 2πR · n / 360

Поэтому две дуги одинаковой градусной меры на окружностях разного радиуса имеют разную длину.

Сумма дуг

Если несколько точек делят окружность, сумма всех дуг между соседними точками равна 360 градусов. Это помогает находить неизвестную дугу, зная остальные.

Вписанный угол

Дуга связана не только с центральным, но и с вписанным углом — углом с вершиной на самой окружности. Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую он опирается. Это свойство часто используют вместе с понятием градусной меры дуги.

Разобранный пример

Точки A, B, C делят окружность на три дуги. Две из них равны 120 и 150 градусов. Найдём третью.

дуга_3 = 360° − 120° − 150° = 90°

Третья дуга равна 90 градусов. А вписанный угол, опирающийся на эту дугу, был бы равен 90° / 2 = 45°.

Большая и меньшая дуги

Две точки делят окружность на две дуги: одну поменьше и одну побольше. Когда говорят про дугу, обычно имеют в виду меньшую из них, если не указано иное. Сумма меньшей и большей дуг всегда равна 360 градусов. Например, если меньшая дуга равна 110 градусов, то большая равна 360° − 110° = 250°. На чертеже важно ясно понимать, о какой именно дуге идёт речь, иначе можно ошибиться в вычислениях.

Применение в задачах

Градусная мера дуги — рабочий инструмент при решении задач об окружности. Через неё выражают вписанные углы, углы между хордами и секущими, а также углы между касательной и хордой. Во всех этих случаях величины углов определяются именно дугами, на которые они опираются. Поэтому умение находить градусную меру дуги по данным задачи — необходимый навык для всей темы окружностей в курсе геометрии.

Частая ошибка: смешивать градусную меру дуги и её линейную длину. Две дуги в 60 градусов на окружностях разного радиуса имеют одинаковую градусную меру, но разную длину. Также вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую опирается, — это нужно учитывать.

Кратко о главном

• Градусная мера дуги равна центральному углу, опирающемуся на неё.
• Вся окружность — 360 градусов, полуокружность — 180, четверть — 90.
• Длина дуги в n° равна 2πR · n / 360 и зависит от радиуса.
• Сумма дуг между соседними точками окружности равна 360 градусов.
• Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую опирается.