Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, обладает целым рядом полезных свойств. Обозначим катеты a и b, гипотенузу c, а высоту к гипотенузе — h. Эта высота тесно связана с темами о площади и о пропорциональных отрезках.

Основная формула

Площадь прямоугольного треугольника можно записать двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту к ней. Приравняв эти два выражения, получаем формулу высоты.

S = (1/2)·a·b и S = (1/2)·c·h ⟹ a·b = c·h ⟹ h = (a·b) / c

То есть высота, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. Эта формула очень удобна, потому что использует только длины сторон.

Что известно	Что находим	Формула
Катеты a, b и гипотенуза c	Высота h	h = a·b / c
Проекции катетов на гипотенузу	Высота h	h = √(a_c · b_c)

Разбор примера

Пусть катеты равны 6 и 8. Найдём сначала гипотенузу, а затем высоту к ней.

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 h = (6·8) / 10 = 48 / 10 = 4,8

Высота равна 4,8. Проверим через площадь двумя способами: (1/2)·6·8 = 24 и (1/2)·10·4,8 = 24 — значения совпадают, значит, расчёт верен.

Связь с пропорциональными отрезками

Высота, проведённая из прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка — это проекции катетов на гипотенузу. Обозначим их a_c и b_c. Высота равна среднему геометрическому этих проекций: h = √(a_c · b_c). Кроме того, каждый катет есть среднее геометрическое всей гипотенузы и своей проекции. Эти соотношения вытекают из подобия трёх треугольников, на которые высота делит исходный.

Пусть проекции равны 3,6 и 6,4 (их сумма = 10). h = √(3,6 · 6,4) = √23,04 = 4,8 ✓

Результат совпал с найденным ранее — оба способа дают одну и ту же высоту.

Свойство катета через проекцию

Кроме высоты, через проекции выражаются и сами катеты. Каждый катет есть среднее геометрическое всей гипотенузы и своей проекции на неё: a = √(c · a_c) и b = √(c · b_c). Проверим на тех же числах: при гипотенузе 10 и проекции 3,6 получаем √(10·3,6) = √36 = 6 — это и есть один из катетов. Эти три соотношения (для высоты и двух катетов) вместе называют свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.

Катет: a = √(c · a_c) = √(10 · 3,6) = √36 = 6 ✓ Катет: b = √(c · b_c) = √(10 · 6,4) = √64 = 8 ✓

Частые ошибки. Высоту к гипотенузе путают с катетом. Катеты — это две стороны при прямом угле, а высота идёт из прямого угла перпендикулярно гипотенузе и всегда короче любого из катетов. Также важно не перепутать проекции катетов с самими катетами.

Кратко о главном

• Высота к гипотенузе: h = a·b / c.
• Формула получается из двух выражений площади треугольника.
• Высота равна среднему геометрическому проекций катетов: h = √(a_c·b_c).
• Высота всегда короче любого из катетов.
• Соотношения следуют из подобия трёх треугольников.