Вписанная окружность треугольника и её радиус

Вписанная окружность треугольника

Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трёх его сторон. В любой треугольник можно вписать ровно одну окружность. Её центр и радиус связаны с площадью и периметром треугольника простыми формулами.

Где находится центр

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы всех трёх углов пересекаются в одной точке, и эта точка одинаково удалена от всех сторон. Расстояние от неё до каждой стороны и есть радиус вписанной окружности.

Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника, поскольку биссектрисы внутренних углов пересекаются внутри фигуры.

Формула радиуса

Радиус вписанной окружности обозначают буквой r. Он находится через площадь S и полупериметр p треугольника:

r = S / p, где p = (a + b + c) / 2

Разобранный пример

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Полупериметр:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 см

Площадь по формуле Герона: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 кв.см. Тогда радиус вписанной окружности:

r = 84 / 21 = 4 см

Частая ошибка. Центр вписанной окружности ищут на пересечении биссектрис, а центр описанной — на пересечении серединных перпендикуляров. Эти точки в общем случае не совпадают.

Особый случай прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c радиус вписанной окружности равен r = (a + b − c) / 2. Эта формула выводится из общей: площадь равна (a · b)/2, а полупериметр — (a + b + c)/2, и после упрощения получается именно такое выражение.

Второй пример

Найдём радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 см. Сначала гипотенуза: c = √(25 + 144) = √169 = 13 см. Тогда по специальной формуле:

r = (5 + 12 − 13) / 2 = 4 / 2 = 2 см

Проверим через общую формулу: площадь S = (5 · 12)/2 = 30 кв.см, полупериметр p = (5 + 12 + 13)/2 = 15 см, значит r = 30/15 = 2 см. Ответы совпали.

Касание сторон

Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки. Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны между собой. Это свойство помогает находить длины отрезков и связано со свойством описанного четырёхугольника.

Где применяют

• В задачах на нахождение радиуса вписанной окружности через площадь.
• В обратной задаче — нахождении площади по радиусу и полупериметру.
• В построениях, где нужно вписать окружность в треугольник.
• В вычислении длин отрезков касательных.

Вписанная окружность тесно связана с понятием биссектрисы: именно потому, что центр лежит на пересечении биссектрис, он равноудалён от всех сторон. Эта связь — хороший пример того, как разные темы геометрии работают вместе при решении одной задачи.

Кратко о главном

• Вписанная окружность касается всех трёх сторон.
• Центр — точка пересечения биссектрис, лежит внутри треугольника.
• Радиус: r = S / p.
• Для прямоугольного треугольника r = (a + b − c) / 2.
• Площадь можно выразить как S = r · p.