Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Если в прямоугольном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла к гипотенузе, то возникают три подобных треугольника и набор важных соотношений. Эта тема объединяет подобие треугольников и теорему Пифагора и часто встречается в задачах повышенной сложности.

Пусть в треугольнике ABC прямой угол при вершине C, а CH — высота, проведённая к гипотенузе AB. Высота делит гипотенузу на два отрезка: AH и BH. Эти отрезки называют проекциями катетов на гипотенузу.

Три подобных треугольника

Высота CH разбивает треугольник ABC на два меньших — ACH и CBH. Каждый из них подобен исходному треугольнику и подобен друг другу, потому что у них совпадают острые углы. Именно из этого подобия и выводятся все соотношения.

Три соотношения

Высота из прямого угла создаёт среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между отрезками.

• Высота есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы: CH = корень(AH * BH).
• Катет есть среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка: AC = корень(AB * AH) и BC = корень(AB * BH).

Разбор примера

Высота делит гипотенузу на отрезки AH = 4 и BH = 9. Найдём высоту и катеты.

CH = корень(4 * 9) = корень(36) = 6; AB = 4 + 9 = 13; AC = корень(13 * 4) = корень(52); BC = корень(13 * 9) = корень(117)

Проверим результат теоремой Пифагора: AC в квадрате + BC в квадрате = 52 + 117 = 169 = 13 в квадрате. Сумма равна квадрату гипотенузы, значит вычисления верны.

Как запомнить соотношения

Все три формулы легко восстановить, если помнить одну идею: высота и катеты являются средними геометрическими. Высота стоит между двумя отрезками гипотенузы, поэтому она — среднее геометрическое именно этих двух отрезков. Катет одним концом опирается на всю гипотенузу, а другим — на прилежащий к нему отрезок, поэтому он — среднее геометрическое гипотенузы и этого отрезка. Если запомнить эту логику, заучивать формулы по отдельности не придётся. Дополнительно из подобия следует ещё одно полезное равенство: произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, что отражает равенство площадей, посчитанных двумя способами.

Частые ошибки. Соотношения работают только для высоты, опущенной из прямого угла. Каждый катет связан со своим прилежащим отрезком гипотенузы — путать AH и BH нельзя. Среднее геометрическое — это корень из произведения, а не полусумма отрезков.

Кратко о главном

• Высота из прямого угла делит треугольник на два, подобных исходному.
• Высота — среднее геометрическое отрезков гипотенузы.
• Каждый катет — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего отрезка.
• Результат можно проверить теоремой Пифагора.