Векторы
📏 Геометрия · 8 класс
Что такое вектор
Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какой конец начало, а какой — конец. Изображают вектор стрелкой. Записывают двумя точками со стрелкой сверху, например AB (от точки A к точке B), или одной малой буквой со стрелкой.
У вектора есть две характеристики: длина (её называют ещё модулем) и направление. Длина вектора AB — это длина отрезка AB, обозначается |AB|. Два вектора равны, если у них одинаковые длина и направление, даже если они нарисованы в разных местах.
Особые векторы
- Нулевой вектор — у него начало совпадает с концом, длина равна нулю, направление не определено.
- Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они бывают сонаправленными или противоположно направленными.
- Противоположные векторы имеют равные длины, но противоположные направления.
Зачем нужны векторы? В физике скорость, сила, перемещение, ускорение — это величины, у которых важно не только значение, но и направление. Их естественно описывать именно векторами. В геометрии векторы дают удобный способ задавать перемещения и доказывать утверждения о параллельности.
Умножение вектора на число
Вектор можно умножить на число k. При этом длина умножается на |k|, а направление сохраняется (если k > 0) или меняется на противоположное (если k < 0). Например, вектор 2a вдвое длиннее a и направлен так же, а вектор −a — это вектор той же длины, направленный в обратную сторону. Если один вектор получается из другого умножением на число, такие векторы коллинеарны.
Сложение векторов
Сложить векторы можно двумя способами.
| Правило | Как строим | Когда удобно |
|---|---|---|
| Треугольника | К концу первого вектора пристраиваем начало второго; сумма — от начала первого к концу второго | Для любых двух векторов |
| Параллелограмма | Векторы откладываем из одной точки и достраиваем до параллелограмма; сумма — его диагональ | Когда векторы выходят из одной точки |
Вычитание векторов
Разность a − b — это сумма вектора a и вектора, противоположного b. Иначе: если отложить оба вектора из одной точки, разность соединяет конец вычитаемого с концом уменьшаемого.
Пример
Даны точки на координатной плоскости:
A(1; 2), B(4; 6).
Координаты вектора AB = (конец − начало):
AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
Длина вектора:
|AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Запомни. Координаты вектора всегда считают как «конец минус начало», а не наоборот. Если перепутать порядок, получится противоположный вектор. Длину находят по теореме Пифагора через координаты.
Кратко о главном
- Вектор — направленный отрезок; задаётся длиной и направлением.
- Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
- Сложение — по правилу треугольника или параллелограмма.
- Координаты вектора = «конец минус начало», длина — по Пифагору.