Отношение периметров подобных фигур

Отношение периметров подобных фигур

Две фигуры называют подобными, если у них равные углы, а соответственные стороны пропорциональны. Число k, показывающее отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Зная коэффициент, можно сравнивать не только стороны, но и периметры подобных фигур.

Основное правило

Правило. Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия: P_1 / P_2 = k.

Это объясняется тем, что каждая сторона одной фигуры больше соответственной стороны другой в k раз. Сумма сторон — то есть периметр — увеличивается во столько же раз. Сравните это с площадями, которые относятся как k².

Разбор примера

Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия k = 3. Периметр меньшего равен 14 сантиметрам. Найдём периметр большего треугольника.

P_большего = P_меньшего · k = 14 · 3 = 42 см

Решим обратную задачу. Пусть периметры подобных многоугольников равны 20 и 30. Найдём коэффициент подобия.

k = P_2 / P_1 = 30 / 20 = 1,5

Значит, каждая сторона большего многоугольника в полтора раза длиннее соответственной стороны меньшего, а его площадь больше в 1,5² = 2,25 раза.

Где это применяют

Правило используют в задачах на карты и масштабные модели. Например, если масштаб карты 1 : 1000, то реальный контур поля имеет периметр в 1000 раз больше, чем его изображение на карте.

Почему так происходит

Периметр — это сумма длин всех сторон. При подобии каждая сторона умножается на один и тот же коэффициент k. Вынося общий множитель за скобки, видим, что вся сумма (то есть периметр) тоже умножается на k. С площадью иначе: она зависит от произведения двух измерений, поэтому растёт в k · k = k² раз. Понимание этой разницы помогает не путать правила.

Связка трёх величин

Полезно держать в голове всю цепочку отношений для подобных фигур: стороны и периметры меняются в k раз, площади — в k² раз. Если известно отношение площадей, коэффициент подобия находят извлечением квадратного корня: k = √(S_2 / S_1). Например, если площади относятся как 9 к 4, то k = √(9/4) = 3/2, и периметры относятся как 3 : 2.

Частые ошибки. Берут для периметров отношение k² — это правило для площадей, а не для периметров. Также путают, какая фигура больше, и применяют коэффициент не в ту сторону. Иногда забывают извлечь корень, переходя от отношения площадей к коэффициенту подобия.

Кратко о главном

• Подобные фигуры имеют коэффициент подобия k.
• Периметры подобных фигур относятся как k.
• Площади относятся как k², а не как k.
• Периметр большей фигуры равен периметру меньшей, умноженному на k.
• Правило применяют для карт и масштабных моделей.