Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей

Две окружности на плоскости могут располагаться по-разному: не пересекаться, касаться или пересекаться в двух точках. Какой именно случай реализуется, зависит от расстояния между центрами и от радиусов. Обозначим радиусы R и r (причём R ≥ r), а расстояние между центрами — d. Сравнивая эти величины, мы однозначно определяем расположение.

Все возможные случаи

Сравнивая d с суммой и разностью радиусов, получаем полную картину расположения. Всего возможно пять различных случаев.

Касание окружностей

Если окружности касаются, точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. При внешнем касании окружности лежат по разные стороны от общей касательной, проведённой в точке касания, а при внутреннем — меньшая лежит внутри большей и касается её изнутри. В обоих случаях общая точка ровно одна.

Особый случай: общий центр

Если центры окружностей совпадают, то d = 0. Такие окружности называют концентрическими. При разных радиусах они не имеют общих точек, а область между ними образует кольцо.

Разобранный пример

Радиусы окружностей равны 7 и 3, расстояние между центрами равно 10. Определим расположение.

R + r = 7 + 3 = 10

d = 10 = R + r

Поскольку расстояние равно сумме радиусов, окружности касаются внешним образом и имеют одну общую точку.

Второй пример

Радиусы равны 8 и 3, расстояние между центрами равно 4. Определим расположение.

R − r = 8 − 3 = 5

d = 4 < 5 = R − r

Так как расстояние меньше разности радиусов, меньшая окружность целиком лежит внутри большей без общих точек.

Линия центров и общая хорда

Когда две окружности пересекаются в двух точках, отрезок, соединяющий эти точки, называют общей хордой. Линия, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна общей хорде и делит её пополам. Это свойство симметрии помогает решать задачи на нахождение длины общей хорды или расстояния между центрами. Картина всегда симметрична относительно линии центров, и этим удобно пользоваться при построениях.

Где это применяется

Взаимное расположение окружностей важно не только в геометрии, но и в технике. Например, при проектировании зубчатых колёс и шестерён инженеры учитывают, касаются окружности или пересекаются. В картографии пересечение окружностей равных расстояний помогает определить местоположение объекта — на этом основан принцип спутниковой навигации. Понимание пяти основных случаев даёт полную и наглядную картину любой ситуации с двумя окружностями.

Частая ошибка: проверять только сумму радиусов и забывать про разность. Если d очень мало, одна окружность может оказаться целиком внутри другой без общих точек. Нужно сравнивать d и с R + r, и с R − r.

Кратко о главном

• Расположение определяется сравнением d с R + r и R − r.
• Касание (одна общая точка): d = R + r или d = R − r.
• Пересечение (две точки): R − r < d < R + r.
• Точка касания лежит на линии центров.
• При совпадении центров окружности концентрические и общих точек не имеют.