Осевая и центральная симметрия
📏 Геометрия · 8 класс
Что такое симметрия фигур
Симметрия — это свойство фигуры совмещаться сама с собой при некотором преобразовании плоскости. В курсе геометрии 8 класса изучают два основных вида: осевую симметрию (относительно прямой) и центральную симметрию (относительно точки). Эти преобразования сохраняют расстояния между точками, поэтому фигура переходит в равную ей. Симметрия встречается повсюду — в архитектуре, орнаментах, строении растений и животных, поэтому её изучение полезно не только в математике.
Осевая симметрия
Две точки A и A' называются симметричными относительно прямой l, если эта прямая перпендикулярна отрезку AA' и делит его пополам. Прямую l называют осью симметрии. Фигура называется симметричной относительно оси, если для каждой её точки симметричная точка тоже принадлежит фигуре. Если фигуру согнуть по оси симметрии, две её половины точно совпадут.
Центральная симметрия
Точки A и A' симметричны относительно точки O, если O — середина отрезка AA'. Точку O называют центром симметрии. Центральная симметрия — это поворот фигуры на 180 градусов вокруг центра. Фигура симметрична относительно точки, если при таком повороте она переходит сама в себя.
| Фигура | Оси симметрии | Центр симметрии |
|---|---|---|
| Равнобедренный треугольник | 1 | нет |
| Равносторонний треугольник | 3 | нет |
| Прямоугольник | 2 | есть |
| Ромб | 2 | есть |
| Квадрат | 4 | есть |
| Окружность | бесконечно много | есть (центр) |
Как построить симметричную точку
Чтобы построить точку, симметричную A относительно прямой l, опускают из A перпендикуляр на l и откладывают на его продолжении равный отрезок:
A → перпендикуляр к l → основание H → A', где AH = HA'
Для центральной симметрии всё ещё проще: проводят луч из точки A через центр O и откладывают OA' = OA. Полученная точка A' и будет симметричной.
Свойства симметрии
Любое из этих преобразований переводит отрезок в равный отрезок, угол — в равный угол, окружность — в равную окружность. Прямая при осевой симметрии переходит в прямую, параллельные прямые остаются параллельными. Именно поэтому симметрия сохраняет форму и размеры фигуры.
Частая ошибка: путают наличие оси и наличие центра симметрии. У равнобедренного треугольника есть ось, но нет центра симметрии. У параллелограмма общего вида, наоборот, есть центр (точка пересечения диагоналей), но нет оси. Эти два свойства независимы.
Пример
Параллелограмм симметричен относительно точки пересечения диагоналей: при повороте на 180 градусов вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную. Поэтому центр диагоналей и есть центр симметрии параллелограмма. А вот оси симметрии у параллелограмма общего вида нет, потому что согнуть его пополам с совпадением половин нельзя.
Кратко о главном
- Осевая симметрия задаётся прямой: ось перпендикулярна отрезку между симметричными точками и делит его пополам.
- Центральная симметрия задаётся точкой — серединой отрезка между симметричными точками; это поворот на 180 градусов.
- Симметричные фигуры равны, преобразование сохраняет расстояния, углы и форму.
- У разных фигур разное число осей и наличие или отсутствие центра симметрии.