Числовые выражения и их значения

Числовые выражения и их значения

Числовое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленная по правилам математики. Если выполнить все указанные действия, получится одно число — оно называется значением выражения. Понимание того, как устроены числовые выражения, лежит в основе всей алгебры.

Что является выражением

Примеры числовых выражений: 12 + 7, (15 - 3)*2, 48 : 6 + 5. А вот запись 7 + : 3 выражением не является, потому что нарушает порядок записи действий. Если в выражении встречается деление на ноль, например 5 : 0, то значение найти нельзя — такое выражение не имеет смысла.

Порядок выполнения действий

Чтобы найти значение, действия выполняют в строгом порядке:

1. сначала действия в скобках;
2. затем возведение в степень;
3. потом умножение и деление слева направо;
4. в конце сложение и вычитание слева направо.

Разобранный пример

Найдём значение выражения 20 - (3 + 2)*3:

20 - (3 + 2)*3 = 20 - 5*3 = 20 - 15 = 5

Сначала посчитали скобку: 3 + 2 = 5. Затем умножение: 5*3 = 15. В конце вычитание: 20 - 15 = 5.

Выражения с переменной

Если вместо некоторых чисел в записи стоят буквы, выражение называют выражением с переменной, например 3a + 7. Чтобы найти его значение, нужно подставить вместо буквы конкретное число. При a = 4 получаем 3*4 + 7 = 19.

Частые ошибки. Нельзя выполнять сложение раньше умножения: в выражении 2 + 3*4 сначала умножают, получая 2 + 12 = 14, а не 20. Также помните: при равной очерёдности (умножение и деление) действия идут слева направо.

Зачем это нужно

Умение правильно вычислять значение выражения необходимо при решении уравнений, проверке корней и работе с формулами. Ошибка в порядке действий приводит к неверному ответу во всей задаче.

Сравнение похожих выражений

Один и тот же набор чисел может давать разный результат в зависимости от скобок. Сравним два выражения с одинаковыми числами:

Видно, что скобки полностью меняют ответ. Поэтому при записи выражения важно ставить их там, где нужно изменить естественный порядок действий.

Степени в выражениях

Когда в выражении есть степень, её вычисляют сразу после скобок, до умножения и деления. Например, в 3 + 2*5^2 сначала находят 5^2 = 25, затем 2*25 = 50, и только потом прибавляют тройку, получая 53. Если же стоит (3 + 2)*5^2, то сначала скобка 5, потом степень 25, и в конце 5*25 = 125.

Кратко о главном

• Числовое выражение составлено из чисел, знаков действий и скобок.
• Значение выражения — число, полученное после всех действий.
• Порядок: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.
• Действия одного уровня выполняют слева направо.
• Деление на ноль делает выражение не имеющим смысла.