Свойства числовых неравенств
📐 Алгебра · 7 класс
Числовые неравенства
Числовое неравенство сравнивает два числа знаками >, <, >= или <=. Свойства числовых неравенств — это правила, по которым неравенства можно складывать, умножать и преобразовывать, не нарушая их истинности. Эти свойства лежат в основе решения линейных неравенств и помогают сравнивать выражения, не вычисляя их точные значения.
Говорят, что a > b, если разность a - b является положительным числом. Это определение через разность объясняет все дальнейшие свойства неравенств.
Основные свойства
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число — знак неравенства сохраняется.
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак сохраняется.
- При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
- Неравенства одного знака можно почленно складывать.
Третье свойство — самое важное и самое коварное, потому что именно о нём чаще всего забывают при решении.
Сводка преобразований
| Действие | Со знаком неравенства | Пример |
|---|---|---|
| Прибавить число | не меняется | 5 > 3 -> 5+2 > 3+2 |
| Умножить на положительное | не меняется | 5 > 3 -> 5*2 > 3*2 |
| Умножить на отрицательное | меняется | 5 > 3 -> 5*(-1) < 3*(-1) |
Разобранный пример
Решим: -2*x + 1 < 7
переносим 1 вправо: -2*x < 7 - 1
-2*x < 6
делим обе части на -2, знак меняется:
x > -3
Ответ: все числа, большие -3. Заметьте, как знак меньше превратился в знак больше в тот момент, когда мы разделили на отрицательное число.
Двойные неравенства
Запись 2 < x < 5 означает, что число x одновременно больше 2 и меньше 5. С такими неравенствами действия выполняют сразу со всеми тремя частями. Например, прибавив к каждой части по единице, получим 3 < x + 1 < 6.
Свойства неравенств позволяют сравнивать выражения, не вычисляя их точных значений. Зная, что a > b, мы сразу можем утверждать, что a + 5 > b + 5 и что 2*a > 2*b. А вот про -a и -b придётся сказать обратное: -a < -b, ведь умножение на отрицательное число переворачивает знак. Такие рассуждения часто встречаются в доказательствах.
Свойство почленного сложения тоже применяют для оценок. Если a > 2 и b > 3, то, сложив эти неравенства, получим a + b > 5. Подобным образом оценивают сумму, когда точные значения слагаемых неизвестны, но известны их границы. Главное — складывать только неравенства одного знака; вычитать неравенства почленно нельзя, это часто приводит к неверным выводам.
Правило. Если вы делите или умножаете обе части неравенства на отрицательное число, обязательно переверните знак неравенства. Это самая частая причина ошибок во всей теме неравенств.
Кратко о главном
- Прибавление одного и того же числа к обеим частям знак не меняет.
- Умножение на положительное число знак сохраняет.
- Умножение на отрицательное число знак меняет на противоположный.
- Неравенства одного знака можно складывать почленно.