Уравнения, приводимые к линейным
📐 Алгебра · 7 класс
Уравнения, которые сводятся к линейным
Уравнениями, приводимыми к линейным, называют уравнения, которые сначала не похожи на линейные, но после тождественных преобразований принимают стандартный вид ax + b = 0. Это происходит, когда при раскрытии скобок и приведении подобных все степени переменной выше первой взаимно уничтожаются.
Как распознать такое уравнение
Часто в уравнении встречаются произведения скобок или квадраты двучленов. После раскрытия по формулам сокращённого умножения одинаковые степени могут сократиться, и останется обычное линейное уравнение. Заранее предсказать это сложно, поэтому сначала выполняют все преобразования, а затем смотрят на результат.
Порядок решения
- Раскройте все скобки, применяя нужные формулы.
- Приведите подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
- Перенесите слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую.
- Разделите обе части на коэффициент при переменной.
- Запишите ответ и при желании выполните проверку подстановкой.
Разбор примера
Решим уравнение (x + 2)_2 = x_2 + 10:
x_2 + 4x + 4 = x_2 + 10
Слагаемые x_2 в обеих частях сокращаются:
4x + 4 = 10
4x = 6
x = 1,5
| Этап | Уравнение |
|---|---|
| Раскрыли квадрат | x_2 + 4x + 4 = x_2 + 10 |
Сократили x_2 | 4x + 4 = 10 |
| Нашли корень | x = 1,5 |
Хотя в исходном уравнении была вторая степень, после преобразований оно оказалось линейным с единственным корнем.
Ещё один пример
Решим уравнение (x - 3)(x + 3) = x_2 - 12. Слева применим формулу разности квадратов:
x_2 - 9 = x_2 - 12
После сокращения x_2 получим -9 = -12. Это неверное равенство, значит, уравнение корней не имеет.
Частая ошибка. Иногда квадраты переменной не сокращаются, и уравнение остаётся квадратным. Не нужно «насильно» убирать вторую степень — сначала аккуратно раскройте скобки и только потом смотрите, что сократилось.
Уравнения с дробными коэффициентами
Иногда уравнение содержит дроби, но после умножения обеих частей на общий знаменатель оно тоже становится линейным. Например, уравнение с дробями приводят к целым коэффициентам, а затем решают как обычно. Главное правило здесь — умножать на знаменатель каждое слагаемое обеих частей, иначе равенство нарушится.
Зачем нужны такие преобразования
Умение приводить уравнение к линейному виду — основа всей дальнейшей работы с уравнениями. В старших классах так же поступают с более сложными уравнениями: сначала упрощают, а потом распознают, к какому известному типу сводится задача. Поэтому навык аккуратного раскрытия скобок и приведения подобных пригодится надолго.
Особые случаи
Если после преобразований переменная вообще исчезает, уравнение либо не имеет корней (например, 0 = 5), либо имеет бесконечно много корней (например, 0 = 0). Это важно учитывать, чтобы не записать ложный ответ и не потерять возможные решения.
Кратко о главном
- Некоторые уравнения становятся линейными после раскрытия скобок и приведения подобных.
- Старшие степени переменной должны взаимно уничтожиться.
- Дальше уравнение решают по обычной схеме линейного уравнения.
- Если переменная исчезает, проверяют: корней нет или их бесконечно много.