Многочлен от нескольких переменных
📐 Алгебра · 7 класс
Многочлен от нескольких переменных
Многочленом от нескольких переменных называют сумму одночленов, в которые входят две и более буквы. Например, выражение 3xy + 2x^2 - 5y + 7 — это многочлен от переменных x и y. С такими многочленами работают по тем же правилам, что и с многочленами от одной переменной: их складывают, вычитают, умножают и приводят к стандартному виду.
Отдельные одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами. Число без букв, если оно есть, называют свободным членом. Например, в многочлене выше свободный член равен 7. Эти понятия нужны, чтобы правильно описывать и преобразовывать выражение.
Стандартный вид
Привести многочлен к стандартному виду — значит привести подобные одночлены и записать каждый одночлен в стандартном виде. Подобными считают одночлены с одинаковым набором букв в одинаковых степенях.
Правило: при приведении подобных в многочлене от нескольких переменных учитывают степень по каждой букве отдельно. Так,x^2yиxy^2не подобны, хотя содержат одни и те же буквы, потому что показатели у этих букв разные.
| Одночлены | Подобны? | Почему |
|---|---|---|
4ab и -2ab | да | одинаковые буквы и степени |
x^2y и xy^2 | нет | разные степени у букв |
3mn и 5nm | да | порядок букв не важен |
7a и 7b | нет | разные буквы |
Разобранный пример
Приведём к стандартному виду многочлен 2ab + 3a^2 - ab + 4 - a^2.
2ab + 3a^2 - ab + 4 - a^2 =
(2ab - ab) + (3a^2 - a^2) + 4 =
ab + 2a^2 + 4Сгруппировали подобные: одночлены с ab вместе, с a^2 вместе, число отдельно. В первой группе 2ab - ab = ab, во второй 3a^2 - a^2 = 2a^2. Свободный член 4 остался без изменения. Получили 2a^2 + ab + 4 — это и есть стандартный вид. Обычно одночлены записывают в порядке убывания степени, поэтому 2a^2 ставят первым.
Степень многочлена
Степень одночлена от нескольких переменных — это сумма показателей всех его букв. Так, степень одночлена x^2y^3 равна 5, потому что 2 + 3 = 5. Степенью многочлена считают наибольшую из степеней его одночленов. Например, для многочлена 2a^2 + ab + 4 степени одночленов равны 2, 2 и 0, значит степень многочлена равна 2.
Частые ошибки: считают подобными одночлены с разными степенями букв; при подсчёте степени берут показатель только одной буквы; теряют свободный член; путают порядок букв со степенью.
Кратко о главном
- Многочлен от нескольких переменных — сумма одночленов с несколькими буквами.
- Подобны одночлены с одинаковыми буквами и одинаковыми степенями.
- Стандартный вид получают приведением подобных.
- Степень одночлена — сумма показателей всех его букв.
- Степень многочлена — наибольшая из степеней его одночленов.