Проверка тождества подстановкой
📐 Алгебра · 7 класс
Как проверяют тождества
Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проверка тождества подстановкой — это попытка убедиться в равенстве, подставляя конкретные числа вместо букв. Этот приём очень полезен, но у него есть важное ограничение, которое нужно хорошо понимать.
Подстановка нескольких чисел помогает заподозрить ошибку, но не доказывает тождество. Доказать его можно только тождественными преобразованиями левой и правой частей.
Зачем подставлять числа
Если при подстановке хотя бы одного числа левая и правая части дают разные значения, то равенство точно не тождество. Это быстрый способ опровергнуть неверное равенство, не выполняя долгих преобразований.
Разбор примера
Проверим, верно ли равенство (a + b)_2 = a_2 + b_2. Подставим a = 1 и b = 1:
левая часть: (1 + 1)_2 = 4
правая часть: 1 + 1 = 2
Значения разные, поэтому равенство не является тождеством. Правильное тождество — (a + b)_2 = a_2 + 2ab + b_2.
| Результат подстановки | Вывод |
|---|---|
| Части совпали | Тождество не опровергнуто, но и не доказано |
| Части различны | Это точно не тождество |
Почему подстановка не доказывает
Даже если равенство выполнилось при нескольких числах, оно может нарушиться при других значениях. Например, какое-то равенство может случайно совпасть при x = 0 и x = 1, но оказаться ложным при x = 2. Поэтому проверка отдельными числами годится лишь для того, чтобы заметить ошибку, а не подтвердить правило.
Как доказывают тождество
Обычно берут одну часть равенства, раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и получают другую часть. Если это удалось при буквах, равенство верно при всех значениях. Иногда обе части по отдельности приводят к одному и тому же виду — тогда тождество тоже считается доказанным.
Правило. Чтобы доказать тождество, левую часть преобразуют к правой (или обе части — к одному виду) с помощью законов алгебры. Чтобы опровергнуть равенство, достаточно одного числа, при котором части не совпадают.
Пример доказательства
Докажем тождество (a + 1)_2 - (a - 1)_2 = 4a. Раскроем обе скобки слева: (a_2 + 2a + 1) - (a_2 - 2a + 1). После раскрытия и приведения подобных получаем a_2 + 2a + 1 - a_2 + 2a - 1 = 4a. Левая часть превратилась в правую, значит, равенство — тождество, верное при любых значениях a.
Допустимые значения
Иногда равенство верно не при всех числах, а только при тех, при которых обе части имеют смысл. Такие значения называют допустимыми. В выражениях с делением исключают значения, при которых знаменатель обращается в ноль. Поэтому, говоря о тождестве, всегда подразумевают именно допустимые значения переменных, а запрещённые числа в проверку не берут.
Кратко о главном
- Тождество верно при всех допустимых значениях переменных.
- Подстановка одного «неудобного» числа способна опровергнуть равенство.
- Совпадение при нескольких числах тождество не доказывает.
- Доказательство выполняется тождественными преобразованиями частей равенства.