График прямой пропорциональности

📐 Алгебра · 7 класс

График прямой пропорциональности

Прямой пропорциональностью называют функцию, заданную формулой y = kx, где k — отличное от нуля число, называемое коэффициентом пропорциональности. Её график — прямая линия, проходящая через начало координат. Это простейшая функция, с которой начинают изучение графиков.

Прямая пропорциональность встречается всюду, где одна величина увеличивается во столько же раз, во сколько и другая: путь при равномерном движении, стоимость при покупке одинаковых товаров, масса при одинаковой плотности. Во всех этих случаях отношение величин постоянно и равно коэффициенту k.

Как строить график

Так как график — прямая, проходящая через точку (0; 0), для построения достаточно найти ещё одну точку. Подставляют любое удобное значение x, находят y и проводят прямую через начало координат и эту точку.

y = 2x
x = 0  ->  y = 0
x = 1  ->  y = 2
Точки (0;0) и (1;2)

Через две точки проводят единственную прямую — это и будет график. Брать более двух точек не обязательно, но иногда третью точку находят для проверки: если она тоже лежит на проведённой прямой, построение выполнено верно. Удобно выбирать такие значения аргумента, при которых значение функции получается целым.

Как коэффициент влияет на наклон

Правило: при k > 0 график возрастает (идёт снизу вверх), при k < 0 график убывает (идёт сверху вниз). Чем больше модуль k, тем круче прямая поднимается или опускается относительно горизонтальной оси.

Коэффициент `k`	Поведение	Расположение
`k > 0`	возрастает	нижняя левая и верхняя правая части
`k < 0`	убывает	верхняя левая и нижняя правая части
больше модуль	круче наклон	ближе к вертикали

Разобранный пример

Построим график функции y = -3x. Берём x = 1, тогда y = -3. Значит, прямая проходит через точки (0; 0) и (1; -3).

y = -3x
x = 1  ->  y = -3
x = -1 ->  y = 3

Так как k = -3 < 0, функция убывает: с ростом аргумента значение уменьшается. Прямая идёт из верхней левой части координатной плоскости в нижнюю правую. Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции y = kx + b при b = 0, поэтому её график всегда проходит через начало координат.

Частые ошибки: ищут точку пересечения с вертикальной осью, забывая, что график всегда проходит через начало координат; путают направление наклона при отрицательном k; строят кривую вместо прямой; берут только одну точку и не могут провести прямую.

Кратко о главном

Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx, где k != 0.
График — прямая через начало координат.
Для построения достаточно одной дополнительной точки.
При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
Чем больше модуль k, тем круче график.

← Предыдущая тема

Сравнение значений выражений

Следующая тема →

Задачи на движение с помощью уравнений