Формулы сокращённого умножения в вычислениях

Формулы для быстрого счёта

Формулы сокращённого умножения применяют не только в буквенных выражениях, но и для быстрого устного счёта числовых выражений. Они позволяют вычислять произведения и квадраты чисел без записи в столбик, если правильно подобрать представление числа.

Чаще всего используют три формулы:

(a + b)_2 = a_2 + 2ab + b_2

(a - b)_2 = a_2 - 2ab + b_2

(a - b)(a + b) = a_2 - b_2

Квадрат числа, близкого к круглому

Чтобы возвести в квадрат число вроде 52, представим его как 50 + 2:

52_2 = (50 + 2)_2 = 2500 + 200 + 4 = 2704

Так считать удобнее, чем умножать 52 на 52 в столбик. Слагаемое 2500 — это квадрат пятидесяти, 200 — удвоенное произведение, а 4 — квадрат двойки.

Квадрат числа, близкого к сотне

Для числа 98 удобно взять 100 - 2:

98_2 = (100 - 2)_2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Здесь применили формулу квадрата разности. Главное — не забыть удвоенное произведение, иначе ответ окажется заметно меньше верного.

Произведение через разность квадратов

Произведение чисел, одинаково удалённых от круглого, считают по формуле разности квадратов. Например, 43 · 37:

43 · 37 = (40 + 3)(40 - 3) = 1600 - 9 = 1591

Совет. Чтобы применить разность квадратов, числа должны быть симметричны относительно круглого числа. Полусумма множителей даёт «центр», а полуразность — отклонение от него. Так, для 43 и 37 центр равен 40, а отклонение — 3.

Произведение чисел, оканчивающихся на 5

Формулы помогают и в других хитрых случаях. Например, квадрат числа, оканчивающегося на 5, считают так: 35_2 = (30 + 5)_2 = 900 + 300 + 25 = 1225. Заметьте закономерность: первые цифры ответа равны произведению 3·4 = 12, а в конце всегда приписывается 25. Эта закономерность вытекает прямо из формулы квадрата суммы.

Как выбрать удобное представление

Чтобы счёт был быстрым, число раскладывают так, чтобы одно из слагаемых было круглым. Для чисел, близких к десяткам, берут ближайший десяток; для близких к сотням — ближайшую сотню. Если число чуть меньше круглого, удобнее формула квадрата разности; если чуть больше — квадрата суммы. Небольшая тренировка помогает выбирать подходящее представление почти мгновенно.

Где это пригодится

Быстрый счёт по формулам экономит время на контрольных и экзаменах, где калькулятор недоступен. Тот же приём помогает проверять результаты сложных вычислений и развивает математическую зоркость.

Кратко о главном

• Формулы сокращённого умножения ускоряют устный счёт.
• Число, близкое к круглому, представляют в виде суммы или разности.
• Произведение симметричных чисел считают через разность квадратов.
• Удвоенное произведение в квадрате суммы или разности пропускать нельзя.