Распознавание линейной функции по таблице

Линейная функция в таблице

Распознавание линейной функции по таблице — это умение по набору пар значений определить, задаёт ли таблица линейную функцию вида y = kx + b. Главный признак линейности — равные приращения функции при равных приращениях аргумента. Этот признак позволяет узнать линейную функцию, даже не строя график.

Признак линейной функции

Если аргумент x увеличивается на одну и ту же величину, а значение y при этом тоже меняется на постоянную величину, то зависимость линейная. Отношение приращения y к приращению x равно угловому коэффициенту:

k = (изменение y) / (изменение x)

Разбор примера

Рассмотрим таблицу значений:

При увеличении x на 1 значение y каждый раз растёт на 3. Значит, k = 3. При x = 0 получаем y = 1, поэтому b = 1. Функция имеет вид:

y = 3x + 1

Проверим: при x = 2 получаем y = 3·2 + 1 = 7 — совпадает со значением в таблице.

Когда функция не линейная

Если при одинаковом шаге по x приращения y разные, зависимость не линейная. Например, для значений y: 1, 4, 9, 16 приращения равны 3, 5, 7 — они растут, и это уже не линейная функция, а квадратичная зависимость, которую вы будете изучать позже.

Как найти формулу

Чтобы найти b, удобно взять строку, где x = 0: тогда y сразу равен свободному члену. Если такой строки нет, b находят подстановкой известной пары значений в формулу y = kx + b. Например, зная k и одну пару (x; y), выражают b = y - kx.

Правило. Таблица задаёт линейную функцию, если при постоянном шаге аргумента значение функции меняется на одну и ту же величину. Эта величина в пересчёте на единичный шаг и есть угловой коэффициент k.

Когда шаг аргумента неравномерный

Иногда значения x в таблице идут не через равные промежутки, например 0, 2, 5, 9. Тогда сравнивать приращения y напрямую нельзя — нужно делить приращение функции на соответствующее приращение аргумента. Если все такие отношения дают одно и то же число, функция линейная. Если хотя бы одно отношение отличается, зависимость не линейная. Этот более общий способ работает при любом расположении значений аргумента.

Практическое значение

Таблицы значений получают при измерениях: расход топлива, стоимость в зависимости от количества, длина пружины при нагрузке. Распознав в таблице линейную зависимость, можно записать формулу и предсказывать значения, которых в таблице нет. Это превращает набор разрозненных чисел в удобную математическую модель.

Кратко о главном

• Линейная функция даёт равные приращения y при равных приращениях x.
• Угловой коэффициент равен отношению приращения функции к приращению аргумента.
• Свободный член b — это значение функции при x = 0.
• Если приращения y не равны, функция не линейная.